Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

494 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
und durch Elimination von 9p aus diesen beiden letzteren
(O - yv)2= (2 r+) r2(2 + v2) (- __-_ ) 2.
Da diese Gleichung vom zweiten Grade in u und v ist, so kann man
mit C. Juel1) den Schlufs ziehen: Die Normalen einer Epi- oder Hypocykloide in den Punkten, in welchen sie von Geraden eines Strahlenbüschels berührt wird, sind Tangenten eines Kegelschnittes. Nun
wollen wir noch bemerken, dafs die Polare des Punktes (cp) der gemeinen Epicykloide (3e) in Bezug auf den Kreis x2 + y2 =_ 1 als
Gleichung hat R r
x [(R + r) cos (p - r cos - (p
+ y (R + r) sin -- - r sin -+- 91 = 2.
Differenzieren wir diese nach 9p und kombinieren das Resultat mit
der ursprünglichen Gleichung, so finden wir
1la sin2 o R+2q 2
2r 2r
2sm-r 2IPcos- -r cp
(R - 2 r) sin P (R + 2 r) sin
2r 2r
als Gleichungen für die Darstellung der Polarreziproken jener Epicykloide in Bezug auf diesen Kreis. Führen wir nun ein Polarkoordinatensystem ein, dessen Axe mit der y-Axe zusammenfällt, indem
wi r 19 q
wir R+2r- 9) -- - co setzen und den Quotienten mit n bezeichnen, so können die obigen beiden Gleichungen durch die folgende
ersetzt werden 12
O=(2q+1)R. sin;
2 n +1
da diese eine uns schon bekannte Kurve darstellt (vgl. Nr. 137), so
schliefsen wir: Die Polarreziproke einer Epi- oder Hypocykloide in
Bezug auf einen mit dem Basiskreise konzentrischen Kreis ist eine
Ährenkurve 2).
Benutzen wir die Gleichungen (23), so sehen wir, dafs das vom
Mittelpunkte des Basiskreises auf die Tangente gefällte Lot dargestellt
wird durch die Gleichung
x cos n 1) + y sin (2n+ )i 00
daher sind die Koordinaten des Fufspunktes jenes Lotes
2fl+l (2n + - 1) (2n+1) w (2n+ 1)p
x 2 r s s 2n -; y=n 2 r sin-cos;
1) Intermediaire I, 1894, S. 22 u. 243; II, 1895, S. 208.
2) S. Jerab ek, Com'bes polaires sreciproques des epicycloides et hypocycloides
(Mathesis, 2. Ser. IX, 1899).