Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neuntes Kapitel: Die Epicykloiden, Hypocykloiden u. d. Kreisevolventen. 489
dm
Setzen wir hier an Stelle von e eTe seinen durch (14) gegebenen Ausdruck, gehen dann zu kartesischen Koordinaten über, so ergiebt sich
daraus.2 x2 +_ y2
5 + y2 - (x x+,y)o i n" (2n+1)2
\ yx- xOY 2 + 2 2
Nun stellt diese Gleichung eine Kurve sechster Ordnung dar, die den
Punkt A als Doppelpunkt hat; folglich: Die Berüihrungspunkte der
Tangenten, die man von einem beliebigen Punkte ihrer Ebene an
eine (algebraische oder transscendente) Epi- oder Hypocykloide ziehen
kann, liegen auf einer Kurve sechster Ordnung, die jenen Punkt und
den Mittelpunkt des festen Kreises zu Doppelpunkten hat. Damit
ist gezeigt, dafs jede Epicykloide einem System angehört, welches
die Charakteristiken j = 2, v = 4 hat.
Bezeichnen wir mit s den Bogen der durch die Gleichungen (3,)
dargestellten Epicykloide, so erhalten wir durch Differentiation die
Gleichung
ds 2/[dx\2 /dy\ I+ h+2- -2_ cos-.
ds~ 6^2/\2 R T/ / 1^^^2~hIo s~a~+. (16)
Wir setzen nun r +h- == a, r - =, b,
und erhalten ds 2 (R+ r) y2 + — (a7 - b) sin. do.
ds B v b ) ~+ (a - ) sin' co d
Betrachten wir dagegen die Ellipse -2 + = und nennen deren
Bogen 6, so bekommen wir, wie bekannt,
d6 = /b2+ (2- b2) sin2c. dci,
2(R1 +r)
und folglich ist ds = --.
Rechnen wir nun sowohl auf der Ellipse als auch auf der Epicykloide
die Bogen von' dem Punkte an, für welchen co =0, so ergiebt sich
folgende bemerkenswerte Relation
2 (R + r)
s== --
Die Rektifikation der Epi- und Hypocykloiden hängt somit, wie die
der Cykloiden im allgemeinen (vgl. Nr. 198) von elliptischen Integralen ab (s. auch S. 387). In dem speziellen Falle jedoch, dafs
h = r, wird die Gleichung (16)
ds = 2 (R + r) sin --
und giebt s -- Const. 4r( (R + r) R9p
unYd giebt s === Con~st. R ---- cos 2r