Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

488 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
wenn man i p= -p und h = r setzt, die Gleichungen (4,) werden zu:
x ^ + - 1 y \- z1.
-= — +-cosncp- cos (n-+ 1)cp -, + sinn -sin( (+ 1)p;
daraus ergiebt sich
Q2 + ( + L) os (p. (13)
r2 \f / fl
Da nun andererseits y
)= arc tgx,
x dx
so hat man r R
y dy
x-dy-y.dx r - 12 (n +1)(2 +)n )
c)o t2 - 2- = - n -- cos ) d.
9 99T
r.2
Differenzieren wir die Gleichung (13), so erhalten wir
d -- - sin p dp,
infolgedessen wird die vorige Gleichung zu
dco 2n +li/1- cos qg
dQ Q lt+ cos cp
oder auch wegen Gleichung (13)
do =- r 92.... (14)
fl2 (2n+ t1)
Dies ist die angekündigte Differenzial-Gleichung.
Wir wollen sie auf die Untersuchung der von einem Punkte A (o, eo)
an die Epicykloide gezogenen Tangenten anwenden. Ist P(Q, o) der
Berührungspunkt einer derselben, und gi der Winkel der Tangente
mit dem Radius vector des Berührungspunktes, so ergiebt sich aus
dem Dreiecke OAP
sin (co0 - ~O + )
O =_ 0 = sin + 0 [sin (O- c) ctg + COS(o- )co )].
Es ist aber tg - Q p -e, und daher
[Qosin(oo - 6) * d1 + co (o- o G)]- ).. (15)
1) Auf diese Formel kann man immer zurückgreifen, wenn es sich darum
handelt, von einem Punkte die Tangente an eine Kurve zu ziehen, die in Polarkoordinaten dargestellt ist. Man kann daraus ableiten, dafs die Kurve einem
algebraischen System angehört, allemal wenn eine algebraische Gleichung von
folgender Form statt hat f( d-, e, cos co, sin ) = 0. So kann man z. B. beweisen, dafs die Varignon'sche Isochrone (Nr. 186) einem algebraischen System
angehört.