Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neuntes Kapitel: Die Epicykloiden, Hypocykloiden u. d. Kreisevolventen. 487
Zahlen, die in gewohnter Weise die Punkte Ei, E2, M darstellen, so
haben wir — leiw 2 g2ei 2t, Z = Z -22
und daher z = l1eiwt- t + 12eit t.. (12)
Trennen wir das Reelle und Imaginäre, so ergiebt sich
x == 1 cos co1 t+- 12 cos c t, y = l1 sin c1 t +- 2 sin c t
als analytische Darstellung des Ortes von M; die Form dieser Gleichung führt zur obigen Behauptung.- Wenn man nun (12) in folgender Weise schreibt:
Z {l= +- i2ei(,-W )t} ezlt
und bekannte Sätze die geometrische Darstellung der komplexen
Zahlen betreffend anwendet, so schliefst man: Jede Epi- oder Hypocykloide kann durch einen Punkt M erzeugt werden, der gleichförmig um einen Punkt E rotiert, welcher mit konstanter Geschwindigkeit die Peripherie eines festen Kreises durchläuft. Dies ergiebt
sich auch durch einfache Betrachtungen aus der ursprünglichen Entstehungsweise. Beachten wir schliefslich1), dafs der Mittelpunkt des
Parallelogramms OE ME2 durch die komplexe Zahl ~ dargestellt
wird, so beschreibt dieser eine zu der durch M erzeugten homothetische Kurve, nämlich eine zweite Epi- oder Hypocykloide2).
206. Die Polargleichung der Epi- bezw. Hypocykloiden ergiebt
sich als von so komplizierter Form, dafs sie sozusagen keinen Vorteil bietet, selbst wenn man sich auf die gemeinen beschränkt. Nützlich erweist sich dagegen in manchen Fällen die polare DifferentialGleichung derselben Kurve. Um sie zu erhalten, beachten wir, dafs,
1) Reincke, Ueber cyclische Curven, dargestellt als geometrischen Ort des
Mittelpunktes derjenigen Geraden, welche zwei auf zwei concentrischen Kreisen
gleichförmig bewegte Punkte in jedem omeent verbindet (Programm Malchin 1892).
2) Die Gleichung (12), mittelst derer man jede Epicykloide darstellen kann,
ist ein Spezialfall von folgender:
Z = lo + 1 ei lt+... I e t,
wo o,1.,.. 1,, co.... o reelle gegebene Zahlen sind und t eine unabhängige
Variabele. Die durch sie dargestellten Kurven wurden von Bellermann (o. a.
Diss., wo der Name Cykloiden höherer Ordnung angewendet wird) und
Eichler betrachtet (Die Darstellung der cyklischen Curven und ihre Bedeutung
füir die Schwingungstheorie, Hamb. Mitt., Teil II, 1890), der auch ihre Erzeugung
vermittelst eines gegliederten Polygons angab, die ähnlich der oben angegebenen
für die Epicykloiden vermittelst eines Gelenkparallelogramms ist. Wir bemerken auch, dafs man, ohne der Allgemeinheit Abbruch zu thun, immer 1o = 0
annehmen darf; daraus können wir ableiten, dafs ~jede Kurve der fraglichen Art
als Ort der Schwerpunkte eines Polygons angesehen werden kann, von welchem
n Ecken gleichförmig konzentrische Kreise durchlaufen". Unter den fraglichen
Kurven finden sich viele bei Untersuchungen aus der Optik und Mechanik.