Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Die Cykloiden. 477
auf AB stehen; dann nehme man auf der Peripherie des letzteren
die Punkte C, C u. s. w., ziehe durch diese die Parallelen zu AB und
bestimme auf diesen die Punkte F, F u. s. w. derart, dafs der Bogen
BCD sich verhält zu DC, DC u. s. w. wie AB zu CF, CF u. s. w.;
die Punkte F, F u. s. w. liegen dann auf einer Linie, die eine primäre
Cykloide ist, wenn AB gleich der Peripherie BCD, eine sekundäre,
wenn man AB davon verschieden annimmt. Dieselbe Kurve DFF... A,
gleichsam Diagonale des krummlinigen Parallelogramms D CC... BA GE
teilt dieses in zwei gleiche Teile; hieraus folgt, dafs das krummlinige
Dreieck AFl...DCC... B die Hälfte von diesem, als auch von dem
Rechtecke AEDB ist. Zieht man die Gerade AD, so ist der krummlinige Teil ADFF... A gleich der erzeugenden Figur BCC...D."( )
Um die Gleichung der sekundären Cykloide von Ricci zu
finden, nehmen wir AB als x-Axe, AE als y-Axe, setzen AB = a,
BD 2r, ) D 0 cG (0 sei der Mittelpunkt des Halbkreises
BCD). Dann finden wir alsbald
aca
x = a - r sin o-, y r r cos;
oder, wenn wir o == - p, a -- R setzen,
x = Rp - r sin,p y=r -r cos... (16)
Dies ist die gesuchte analytische Darstellung; da für B = r G1. (16)
mit (1') übereinstimmt, so ist ersichtlich, dafs die gemeine Cykloide
ein Spezialfall dieser neuen Kurve ist. Aus der Gleichung (16) ergiebt sich ferner:
p=tz 7t
Fläche ABIDFF... A fyd - x =f(r - r cos p) ( - r cos jp) dp
= O 0
7t 7t nZ
=- rfd - 2 Erfcosw dp + r2 fcos2 dp =- (Rr + 9),
0 0 0
und daher
1 1
Flache ABCC...DFF...A = R-Rr = R2r == 1 a.2r
2 2
Rechteck ABDE ABCC... DGEA.
2 2
Dieser Satz ist der wichtigste der von Ricci ausgesprochenen; die
übrigen sind Folgerungen hieraus. Sie scheinen der Allgemeinheit
unbekannt geblieben zu sein, bis zu dem Zeitpunkte (1897), als der
oben erwähnte Brief ans Tageslicht kam zugleich mit denen, die den
wissenschaftlichen Briefwechsel von Huygens betreffen. Jedoch die
Kurve, auf die sich die Sätze beziehen, blieb nicht ganz unbekannt.
Wenn man nämlich die Normalen der durch Gl. (1') dargestellten
1) Oeuvres de Huygens VII, S. 381.