Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Die Cykloiden. 471
Nun ergiebt sich aus der Figur und dem zu Anfang dieser Nr.
aufgestellten allgemeinen Ausdrucke für fx. dy:
Fläche BCDB = Trapez BB'D'B - Fläche BB'D'CB
y=2 r-y
(Y- yo)(X- x0) rx. dy (r - 2 r) (X + xo)
2 uxd 2
y-r-+y
- - p cos ~p + sin p - 2 q + { sin 2 (p I
und nach einigen Reduktionen
(yI + )/Y 1-ri ~ _(2r_-) ]2r~- 2
Fläche BCDB 2 (y ( -.)]/F2 r
2
Ahnlich ergiebt sich
Fläche BCDB (l + )r2-i + (r- 2
Verbindet man aber F mit den Punkten L und M, so hat man
Dreieck FIL == (r + )1/r2 2
Dreieck FMK =- (2 - v) 1/2r - _ 2;
folglich ist
Fläche BCDB
Fläche BCDD) = Dreieck FIL + Dreieck FMK.. (9)
Fläche BCDDB
Diese Doppelbeziehung enthält den Satz, durch welchen Joh. Bernoulli
die beiden vorigen von Huygens und Leibniz verallgemeinerte. Er
sowohl, wie auch sein Bruder Jakob, stellten noch weitere ähnliche
Untersuchungen an, auf welche näher einzugehen uns versagt ist );
wir wollen nur andeuten, dafs sie zur Entdeckung einer ähnlichen
Relation wie (1) führten, die für alle Cykloiden verlängerte und verkürzte Gültigkeit hat2).
200. Zu anderen beachtenswerten Eigenschaften der gemeinen
Cykloide führen Betrachtungen über ihre Krümmung; da nämlich
I[m. s. die Gl. (6'), (8) und (1')]
R-==4 2 sin-, s== 1 +r(l1 -cos ) y=2r sin2 P
so folgt
-2+ (s 4r) =. 4. (10) R =-8r..... (11)
Verlegen wir den Anfang des Bogens, so wird die Gleichung (10) zu
R2 +s 52 =(4r)2. Dies ist die natürliche kanonische Gleichung der
gemeinen Cykloide; in geeigneter Weise interpretiert, besagt sie:
Wenn eine Cykloide auf einer festen Geraden rollt, so ist der Ort
1) Jac. Bernoulli Opera, S. 1129-1134; Joh. Bernoulli Opera I, S. 328-335.
2) Acta Erudit. Juni 1700; Joh. Bernoulli Opera I, S. 330.