Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Die Cykloiden. 469
V 5 V _ 3
Daher ist -v - V+V U,
U 8 U 8 Y Y == U7
wie auch der französische Geometer erhalten hat. Sind daher g und gl
die Ordinaten der Schwerpunkte der Flächen S und S1, so hat man
nach dem Guldin'schen Satze
V- 2zg.S, V1= 2tgS1i,
5 3
folglich ist = -- r, Y1= -r.
Wir überlassen es dem Leser in ähnlicher Weise (wie es Roberval
1649 gethan hat) das durch Rotation der Cykloide um ihre Mittellinie erzeugte Volumen zu berechnen, sowie den Schwerpunkt des
Bogens zu bestimmen1) und kehren zur Quadratur der gemeinen
Cykloide zurück, um einige wichtige darauf bezügliche Sätze anzuführen.
199. Derjenige ältesten Datums wurde von Huygens2) entdeckt.
Um ihn darzulegen, beachten wir vor allem, dafs die Gleichungen (1')
ergeben Sfx dy = r2S(p sin - sin2" p) dc
r2 (- p cos p + sin -- p + - sin 2 + Const.
Zeichnen wir nun den erzeugenden Kreis in der Lage, in welcher er
den Kulminationspunkt A der Cykloide berührt (Taf. XV, Fig. 116),
und sei B sein Mittelpunkt und H der Berührungspunkt mit der
Basis; durch den Mittelpunkt G des Radius AB die Parallele zur
Basis der Cykloide, welche die Kurve in L und die y-Axe in L'
schneidet; sei dann noch A' der Schnitt dieser Axe mit der durch A
zus Basis gezogenen Parallelen, so haben wir
yJ=2r
Fläche A'L'LA =x x. dy
3r
~2 11; ~,. 1,12 7^ 1 3V3 r2!/ 22r 2
-- r2 - 9 cosP +- sming 99 +- 2 s9p q- sci 2;
folglich ist die Fläche AGDLA -- und das Segment
8, und das Segmen[
AD LMEi A = 3 — Letzteres bedeutet aber die Fläche des einem
4
1) Saint-G ermain, Receuil complementaire d'exercises sur la mezcanique
rationelle (Paris 1889) S. 56.
2) Dieser Satz wurde zuerst von Huygens an Ism. Bouillaud durch Brief
vom 25. Juni 1658 mitgeteilt (Oeuvres de Huiygens II, S. 200) und nachher an
Carcavy (Brief v. 16. Jan. 1659), das. S. 315; veröffentlicht wurde er durch Pascal
in der o. a. Histoire de la roulette.