Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Siebentes Kapitel: Die Klothoide. 459
ds
Ist e der Kontingenzwinkel, so ist bekanntlich R =- und
daher ist (1) gleichbedeutend mit
s ds= a- de,
und nach Integration s2 = 2 ae2,
welche von ähnlicher Form ist, wie die kanonische Gleichung der
Parabel. Das zeigt uns, dafs die Klothoide sich nicht unterscheidet
von einer Kurve, die schon lange Zeit vorher von A. Peters') und
K. C. F. Krause2) untersucht worden ist, und von letzterem (aus
leicht begreiflichem Grunde) mit dem Namen,parabola originaria
longitudinaris" belegt worden war.
Die Klothoide erfreut sich vielerlei Eigenschaften, von denen die
meisten durch Ceshro bemerkt worden sind; wir beschränken uns
darauf folgende anzuführen:
Der Schwerpunkt eines Klothoidenbogens ist der innere Ähnlichkeitspunkt der beiden Schmiegungskreise in den Endpunkten
des Bogens. Die Klothoide ist die einzige Kurve, bei welcher der
Schwerpunkt eines beliebigen Bogens auf der Verbindungslinie der
Krihnmungsmittelpunkte für die Endpunkte des Bogens liegt.
Die natürliche Gleichung der logarithmischen Spirale und der
Klothoide zeigt, dafs diese beiden Kurven Spezialfälle der durch die
Gleichung = s"......... (3)
charakterisierten Kurven sind 3); wir werden in Nr. 209 sehen, dafs zu
derselben Kategorie noch eine andere bemerkenswerte Kurve (nämlich
die Kreisevolvente) gehört. Diese Kurven haben die Eigentümlichkeit,
dafs ihre Evoluten Kurven sind, die derselben Gattung angehören.
Wenden wir nämlich die in Kap. 3 des Abschnitt VII aufgestellten
Formeln an4), welche die natürlichen Koordinaten der Punkte einer
Kurve mit denjenigen der entsprechenden Punkte ihrer Evolute verknüpften, so erkennen wir, dafs die natürliche Gleichung der Evolute
von (3) erhalten wird, wenn man aus den beiden folgenden Gleichungen s eliminiert
~ = — mn17, s- = k sm;
1) Neue Curvenlehre (Dresden 1835) S. 173.
2) Nova theoria linearum curvaruum (München 1835) S. 79.
3) H. Onnen, Discussion d'un systeine de spirales d'apres leurs equzations
essentielles (Arch. n6erlandaises X, 1875) und G. Pirondini, Intorno a una famiglia notevole di linee piane (Giorn. di Matem. XXX, 1892). Ein halbes Jahrhundert vorher war auf diese Kurven Puiseux gestofsen (s. den II. Teil der
Problemes sur les developpees et les developpantes des courbes _planes, Liouvilles
Journ. IX, 1844).
4) Wir empfehlen dem Leser davon alsbald Kenntnis zu nehmen, da wir
dieselben im Verlaufe dieses Abschnittes gelegentlich mehrfach anwenden werden,