Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

450 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
A, B, C, D der Kurve, die den Werten a, ß, 7, 6 von Go entsprechen
derart, dafs -a -o= -y. Infolge der Gleichung (1) ist dann
P-_ d-Y
O B -- OD 2
OA 00 e
und daher wegen der gemachten Voraussetzung
OB OD
OA OC;
hieraus folgt, dafs die beiden Dreiecke AOB und COD einander
ähnlich sind. Wenn man also zwei Punkte MI, N der Spirale kennt
und konstruiert über ON das dem Dreiecke OMlN ähnliche Dreieck
ON P, so ist P ein dritter Punkt der Kurve; daraus kann man einen
vierten, dann einen fünften u. s. w. ableiten (s. Taf. XIV, Fig. 112).
Diese Konstruktion beruht im Grunde darauf, dafs die in gleichen
Winkelabständen liegenden Vertoren eine geometrische Proportion
bilden; ist insbesondere der Winkelabstand gleich 2z, so haben wir:
Die auf jedem vom Auge der Spirale ausgehenden Strahle liegenden
Vectoren der logarithmischen Spirale bilden eine geometrische Progressionl). Auch hieraus ergiebt sich, namentlich wenn der Quotient q
dieser letzteren Progression gegeben ist, eine Methode die Spirale
punktweise zu zeichen. Für q besteht die Beziehung
q e2 ctg~; 2)
da diese Gröfse zur Zeichnung der Spirale ausreicht, so sieht man,
dafs die Konstante c nur den Mafsstab, bezw. eine bestimmte der unendlich vielen einander ~ähnlichen Windungen bezeichnet, jedoch auf
die Gestalt keinen Einflufs hat. Auch auf andere Weise läfst sich
erkennen, dafs mit Variation der Konstanten c die Gleichung (1)
unendlich viele unter sich identische Kurven darstellt. Betrachtet
man nämlich die Kurve o
a2 - 1
Q —C~,
und setzt nun c== c e/- -
so ist dadurch der Winkel a vollständig bestimmt, und man hat alsdann
Q ce
1) Bei der archimedischen Spirale bilden sie eine arithmetische Progression.
2) Eben dieser Quotient ist bei den in der Natur an Konchylien vorkommenden Spiralen (nach Beobachtungen des Übersetzers) eine ganze oder einfache rationale Zahl.