Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

444 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Sie findet sich - unter anderen allgemeineren - in einer Abhandlung von Varignon, die der Pariser Akademie im Jahre 1704 vorgelegt, aber erst 1722 veröffentlicht wurdel); sie wurde ferner auch
von Joh. Bernoulli entdeckt, der in einem französisch geschriebenen
Briefe an Hermann vom 7. Okt. 1710 sie Spirale hyperbolique2)
nannte, und ungefähr drei Jahre später, als er die Analogieen sowohl,
als auch die Verschiedenheiten zwischen ihr und der Archimedischen
erkannt hatte, schrieb:,ita ut non incongrue haec spiralis vocari
possit Hyperbolica, vel etiam Archimedea inversa; utpote, quae
cum Archimedea ordinaria hoc commune habet, quod in utraque
distantiae punetorum ab umbilico sint proportionales circulationibus
emensis, in Archimedea vulgari directe, in nostra vere inverse"3).
Der Name hyperbolische Spirale ist nun allgemein angenommen
worden in Hinsicht auf die Analogie der Gleichung (3) mit der einer
auf die Asymptoten als Axen bezogenen Hyperbel.
Die Gleichung (3) zeigt uns, dafs gleichen und entgegengesetzten
Werten von co auch gleiche und entgegengesetzte Werte von ) entsprechen; folglich ist die hyperbolische Spirale eine in Bezug auf die
sekundäre Polaraxe symmetrische Kurve, auf dieser befinden sich unendlich viele Doppelpunkte (Taf. XIV, Fig. 110). Lassen wir co bis
+ oo gehen, so geht Q in 0 über; demnach ist der Pol ein asymptotischer Punkt der Kurve; machen wir hingegen co 0, so erhalten
wir = oo, folglich geht die Kurve durch den unendlich fernen Punkt
der Polaraxe, und da Gleichung (1) uns sagt, dafs
lim (Q sin o) =lim (a i — a,
so ist die zur Polaraxe im Abstande a gezogene Parallele eine
Asymptote der Kurve.
Die Polar-Subtangente wird gegeben durch St 2: = -a;
folglich: Der Ort der Endpunkte der Polar-Subtangente der hyperbolischen Spirale (3) ist der mit dem Radius a um den Pol beschriebene Kreis. Daraus folgt eine höchst einfache Konstruktion
der Tangente. Bei dieser Gelegenheit wollen wir noch vermerken,
dafs die Kurve in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung
/2 1s - y2 arc tg - a == 0
dargestellt wird, und daher die Tangente durch
(X; —x) {axn - yl/ + y2 + (Y-y) {ay+J /x2 + y2} = 0;
1) Über diese Arbeit von Varignon siehe Kap. I des folgenden Abschn.
2) Mem. de Paris 1710; Joh. Bernoulli Opera omnia I, S. 480.
3) De mont corporum gravium, pendolorumii et projectilium (Acta erud. Febr
1713); oder Joh. Bernoulli Opera I, S. 552.