Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünftes Kapitel: Andere algebraische Spiralen. 441
_2 + x2(X -a)2
J l v22;
so sieht man, dafs die Rektifikation der parabolischen Spirale, mit
der Quadratur dieser Kurve äquivalent ist. Diese Kurve, oder besser
die zu ihr affine und durch die Gleichung
y -4 _ 42....... (4)
dargestellte, läfst sich nun auf folgende Weise konstruieren: "Es sei
C der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Durchmesser a, der im Anfangspunkte 0 die y-Axe berührt (Taf. XIV, Fig. 109). Wir nehmen
nun auf Ox beliebig die beiden Strecken CW= CZ, ziehen in dem
Kreise die zugehörigen Ordinaten WT und ZX und bestimmen den
Schnittpunkt S von TX mit der -y-Axe. Es sei nun A ein Punkt
der x-Axe, derart, dafs OA==2p. Man trage nun auf derselben Axe
OK= OS ab, ziehe AS und durch K die Parallele zu dieser Geraden; ist R der Schnittpunkt mit Oy, und trägt man die Strecke
CR von W und Z aus auf den Geraden WT und ZX ab, so erhält man vier Punkte P der Kurve (4)." Wir überlassen den Beweis
dem Leser und bemerken, dafs aus der Konstruktion hervorgeht, dafs
die Kurve (4) zur Geraden x - symmetrisch ist; demnach enthält
sie unendlich viele Paare gleichgrofser Flächenstücke, und damit ist
gezeigt: Die parabolische Spirale enthält trotz der Unregelmäfsigkeit
ihrer Gestalt unendlich viele Paare gleichlanger Bogen; es ist dieses
die hervorragendste geometrische Eigenschaft, welche sie besitzt').
Fünftes Kapitel.
Andere algebraische Spiralen.
188. Das Wort ~Spirale", welches wir auf den vorhergehenden
Seiten gebrauchten, geht in das entfernteste Altertum zurück, indem
es dort eine Bahnlinie im astronomischen System Plato's bedeutete 2)
1) Weitere, die obige Kurve und die bezüglichen Arbeiten betreffende Verhältnisse finden sich in der sorgfältigen Monographie von G. D. E. Weyer angegeben, Ueber die parabolische Spirale (Kiel und Leipzig, 1894); vgl. auch
Wolfram, Die apollonisch-parabolische Spirale (Progr. Hof, ohne Jahreszahl).
2) A. Sedcillot, De l'origine de la semaine planetaire et de la spirale de
Platon (Bull. di bibl. e stor. VI, 1873, und C. R. XXVII, 1872) und Th. H. Martin,
Hypothese astronomique de Platon (Mem. de l'Ac. des Inseriptions et Belles Lettres, XXX, 1. Teil, 1881) S. 46-48. - Es möge angeführt werden, dafs im
XXI. Kap. der Astronomie des Theon von Smyrna (s. Theon de Smyrne, Exposition des connaissances nathedzatiques utiles pour la lecture de Platon, ed.
Dupuis, Paris 1892, S. 328) von einer anderen astronomischen Spirale die Rede