Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

434 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Viertes Kapitel.
Die Spiralen höheren Grades.
185. Als unmittelbare Verallgemeinerung der Archimedischen
Spirale sind zu betrachten diejenigen Kurven, die in Polarkoordinaten
durch eine Gleichung von der Form
=k..... (I)
dargestellt werden, wo k eine ganze positive Zahl ist; wir bezeichnen
sie mit dem Namen Spiralen höheren Grades. Von ihnen spricht
Fermat in einem an P. Mersenne unterm 3. Juni 1636 gerichteten
Briefe1) und verspricht nicht nur eine vollständige Behandlung derselben, sondern führt auch Sätze an über diejenige, welche dem Falle
==2 entspricht, und von der er annimmt, dafs sie.die wunderbare
Kurve (tagcdoosg y7occutql) sei, die, nach der Aussage des Pappus2),
von dem Geometer Menelaus von Alexandrien erfunden wurde3).
Die Entdeckungen Fermats wurden durch Mersenne bekannt gemacht,
der von ihnen im zweiten Teile seiner Harmonie universelle (Paris 1637)
spricht, und ferner in den Cogitata physico-mathematica (Lutetia. Paris.
1644); ebenderselbe erwähnt ihrer in einem Briefe an C. Huygens
vom 22. Mai 16484), wo die Aufgabe gestellt wird, das Verhältnis
der vom Radius vector beschriebenen Fläche A, wenn der Winkel co
von 0 bis 2~ variiert, zum Inhalte C des Kreises mit dem Radius a
und dem Centrum 0 (den wir auch hier den ersten Kreis nennen)
zu bestimmen. Diese Aufgabe läfst sich mit unseren Methoden leicht
lösen; da nämlich
do k+ t. d a und C za2,
w==O Q=
so hat man sofort A: C = k:(k + 2);
für k — 1 haben wir einen Satz des Archimedes (s. Nr. 183) wieder,
während wir für k> 1 einen Satz erhalten, der mit anderen von
Stephano de Angelis5) und John Wallis übereinstimmt, und
1) Oeuvres de Fermat II, S. 12-14, und III, S 277-78.
2) Pappus, herausg. v. Hultsch, S. 270.
3) Diese Ansicht des berühmten Senators von Toulouse fand wenige Anhänger, weil man allgemein annimmt, dafs die ~wunderbare" Kurve doppelter
Krümmung sei; s. G. Loria, Le seienze esatte nell' antica grecia, Lib. III n. 35
(Mem. dell' Acc. di Modena, II. Ser. XII, 1900).
4) Oeuvres de Huygens I, S. 95.
5) De infinitorum spiralium spatiorum mrensura (Venetiis 1660), wo die
Kurve (1) für k = 1 spiralis linearis, für k=2 spiralis secunda seu
quadratica, für k =- 3 spiralis tertia seu cubica u. s. w. genannt wird.