Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

428 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
merken, dafs, wenn wir zu kartesischen Koordinaten übergehen, die
Gleichnng (1) wird x-+-, - a arc tg Y... (2)
die Gleichung der Tangente im Punkte (x, y) der Kurve lautet demnach
(X x){x Y2+y2+ay} +(Y -) {yJ/x2+y —axn =O0;
machen wir diese rational, so erhalten wir
(X2 + y2) {Xx + Y -(x 2+ y2)}2= a2(Yx -Xy)
Da nun diese Gleichung, wenn X, Y gegeben sind, eine Kurve sechster
Ordnung darstellt, die den Punkt mit den Koordinaten X, Y zum
Doppelpunkt hat, so gehören die Beriihrungspunkte der von einem
Punkte an eine Archimedische Spirale gezogenen Tangenten einer
Kurve sechster Ordnung an, für welche jener Punkt ein Doppelpunkt ist. Dies genügt zum Nachweise (vgl. Nr. 174), dafs jede
Archimedische Spirale einem Systeme angehört mit den Charakteristiken,t = 2, v = 4.
183. Hat die bewegliche, die Spirale erzeugende Gerade n Umläufe vollendet, so ist der bewegliche Punkt vom Pole um eine Länge
ON= 2 n2c a entfernt; der Kreis mit dem Mittelpunkte 0 und dem
Radius ON wird von Archimedes,der nte Kreis' genannt; die Länge
seiner Peripherie beträgt 4n:2a. Nennen wir andererseits den Winkel,
den die Tangente mit dem Radius vector bildet tt, so liefert uns die
bekannte Formel de
tg/ =Z 9:d
im vorliegenden Falle tg g = a:coa = co.
Demnach ist die trigonometrische Tangente des Winkels, den der
Radius vector ON mit der Tangente in seinem Endpunkte bildet
= 2n7t. Dies beweist, dafs die im Pole zur Polaraxe errichtete Senkrechte die genannte Tangente in einem Punkte trifft, dessen Abstand
vom Pole = 2 n a2na- = 4n2ca2a, d. i. gleich dem n-fachen der
Peripherie des,nten Kreises'. Daraus ergiebt sich dann, dafs, wenn man
die Tangente in N an die Spirale ziehen kann, man auch den Kreis
rektifizieren kann und umgekehrt; damit haben wir eine neue - von
Archimedes angegebene -Art, die besprochene Spirale als Quadratrix
zu betrachten.
Ist St die Polarsubtangente, so hat man St = 2: wenn
dco a; wenn
man nun den Kreis um 0 beschreibt, der durch den Punkt M((, co)
der Spirale geht, so ist die Länge seines zwischen der Polaraxe und
der Geraden 0OM gelegenen Bogens = co = - =S,; daraus ergiebt
sich ein Verfahren, den Endpunkt der Subtangente zu finden und
somit die Tangente zu konstruieren. Es ist dies das älteste Beispiel