Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

414 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Dieser Ausdruck findet sich in einem Briefe, den Newton am 13. Juli
1676 an Oldenburg schrieb, damit er ihn Leibniz mitteile'); in
diesem Briefe findet sich auch eine analoge Entwickelung für den
Bogen der Quadratrix. Veröffentlicht wurde sie erst viel später von
A. Stone2) in A met7hod of fluxions (London 1730) und alsbald scharf
kritisiert von Joh. Bernoulli, der bemerkte:,Avec tout cela il ne
donne pas la quadrature par une expression finie, comme nous en
pouvons donner une, quoique les logarithmes y entrent"3). Auf welche
Formel er hier anspielt, ist mathematisch sicher nicht bekannt. Zugegeben, dafs er an einen Ausdruk für die Fläche A gedacht hat,
die zwischen der Kurve und der x-Axe gelegen ist (also das Doppelte
des Sektors ABI), so bekommt man die von ihm wahrscheinlich angekündigte Formel auf folgende Weise4): Die Gleichung (3) zeigt, dafs
2r. x
A = 2jx ctg dx
0
ist; setzt man nun 7(r-x)- 2ru, so erhält man
A== 42( - 2u) tg u du
0
= 1 { [(2u -zZ) log cos u]2 - 2 ogcos udu;
0
Ä = 8Sr2 Joc ud 8r2 1
- log cos du *- ', log2,
0
und daher ist5) 4r log 2
die gesuchte Formel.
178. Pappus hat eine beachtenswerte stereometrische Erzeugung
der Quadratrix entdeckt; sie wird ausgedrückt durch folgenden
Satz: Schneidet man eine Schraubenfläche mit gerader Leitlinie
mit einer durch eine Erzeugende gelegten Ebene und projiziert die
Schnittkurve auf die Basisebene, so erhält man eine Quadratrix.
1) Leibniz ed. Gerhardt I, S. 109. Vgl. auch den Methodus fluxionum et
serierum infinitarum (1736) reproduziert in Isaaci NTewtoni opuscula I. (Lausanne
et Genevae 1744) S. 198.
2) Vgl. Analyse des infinimzent petits par M. Stone, übers. von Rondet (Paris
1735) S. 70-71.
3) Remarque sur le livre intitule etc. (Joh. Bernoulli Opera IV) S. 177.
4) Intermediaire IV, 1897, S. 14.
5) Cesaro, Calcolo infinitesimicale (Neapel 1899) S. 263-64.