Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

398 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
welche im wesentlichen mit (6) zusammenfällt. Folglich: Eine Sinusspirale mit ganzzahligem Index n ist eine spezielle Cassinoide mit
n Brennpunkten (vgl. Nr. 161), d. h. der Ort derjenigen Punkte der
Ebene eines regulären n-Ecks, deren Abstände von den Ecken des
Vielecks ein Produkt geben, gleich der nten Potenz des Radius des
dem Vielecke umbeschriebenen Kreises.
172. Bezeichnen wir nun mit R den Krümmungsradius der
Kurve (6) und mit v den Winkel der Normalen mit dem Radius vector,
so haben wir n-l
2 n l —~n
R =n+- (cosnco) n, COSV X=== COSna)... (9)
und daher R cosv.. (10)
welche Gleichung folgenden Satz beweist: Bei jeder Sinusspirale ist
das Verhältnis der Projektion des Krümmungsradius auf den Radius
vector zum Radius vector selbst ein konstantes. Es sei Q-Q' die
genannte Projektion; da nun wegen (10) Q - - ist, so haben
wir Q~' n+ und die Gleichung (6) wird dann
+l)\fQn (n (-2) cos nC, oder auch Qn = t ( -a- cosncG.
Da diese Gleichung von derselben Form wie (6) ist, so sieht man:
Bei einer Sinusspirale ist der Ort der Projektionen der Krimmungsmittelpunkte auf die zugehörigen Radienvectoren eine andere Sinusspirale mit demselben Index und demselben Pol.
Die durch Gleichung (10) ausgedrückte Eigenschaft ist charakteristisch für die Sinusspirale sowie für eine andere Kurve, die man als
Grenzfall derselben ansehen kann1). Wenn nämlich s Const.,
Beosv ConA.,
und man bezeichnet mit m den Wert dieser Konstanten und setzt für
R und cos v ihre Werte ein, so erhält man die folgende Differenzialgleichung d2 2d)= [2+ ( d)2],
dco2 + \2 r + d+
oder aber 1 d2 1 /_d\2
Q dcü Q V\d)l +:=.
~+ 2 \d
Wenn m == 1, so werden wir diese Gleichung in folgende umgestalten
-dare g arc t - ) + -1 = —0,
1) Allegret, Remarques sur une certaine famille de courbes planes (Nouv.
Ann. de math. 2. Ser. XI, 1872); M. du Chatenet, Sur les courbes dans lesquelles la projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur est avec lui dans
un rapport constant (Das. 3. Ser. V, 1886).