Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

392 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
diesen besonders zu beschäftigen, um zu zeigen, wie Euler hierauf
die Betrachtungen in Nr. 165 angewendet hat1). Es ist klar, dafs
die Gleichungen
d a2 dz 2. dz
dx = cos cp, dy===- sin pw
1/a4 — Z4 /a-4_ Z4
eine der gesuchten Kurven darstellen, wofern nur cp = (p(z) in geeigneter Weise gewählt wird. Um diese Wahl zu definieren, setzen
wir2 =a2sin;
wir erhalten dann
2dx cos qp.de 2dy sin p.de
a V/sinA a- - /sin a
nehmen wir aufserdem an, dafs p = ne, so ergiebt sich
a jrcosne -d a ssinn- * d()
fj2 / ysin= 2 J * 1/sin
Um die Integrierbarkeit dieser Formeln beurteilen zu können, setzen
wir \(n)= /cos n d ~- df (fs sin nü. de4
V sinü t 1/sn-9
integrieren wir nun teilweise, so erhalten wir folgende Reduktionsformeln:
4 1) cos(n_ 2n 1_ (n-2),
42 2n —3
(n - i 2 4 V sin.s-i. ( l) + 22 _ J 2 (- ),
die beweisen, dafs, wenn die Integration für einen gewissen Wert fn
von n ausführbar ist, sie für alle Werte n + 2k es ist. Überdies
kann die Untersuchung der Integrierbarkeits-Bedingung auch ausgeführt werden, indem man der Reihe nach aus (1) folgende Gleichungen ableitet:
2(x+iy) ei e id (n d /ei( ) +) de4
a ]J / Z e-ie J /V i- 1
2 2 -
setzen wir nun eie t
so können wir schreiben
2x + y= yt( 2-). (t_ )-. dt;
wendet man nun die Theorie der binomischen Differentiale an, so
sieht man: damit die Integration ausführbar sei, mufs n von der
1. 1
Form 2k +- - sein. Demnach: Wenn n = 2k +- -, so stellen
1) De lineis cwmvis quarum rectificatio per datam quadraturam mensuratur
No. 7-13 (L. Euleri opera postuma I, Petropoli 1862).