Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Siebzehntes Kapitel: Kurven, rektifizierbar durch Ellipsenbogen. 387
d x 1+ _ _im
dx = / - 1 cosp dz dy ==2 si1n- dz
- i -- z2c r l —,
stellen offenbar eine durch Ellipsenbogen rektifizierbare Kurve dar,
wenn -p== p(z) in der Art bestimmt ist, dafs x und y in endlichen
Ausdrücken erhalten werden können. Um dies einzusehen, setze man
z = sin 4; die vorigen Gleichungen werden dann:
dx - = cos2 +- m2 sin2 cos 9p de4,
dy= cos2 +- m2 sin2 sin ' d*.
Man stelle nun zwischen 4 und einem neuen Winkel co die Beziehung
auf, dafs dco d
tgc o = m tg e; daher ist co =- mco
CO.S~c c COS2,'
und man erhält:
dx cos' 9cos, d y cos d.sin p. de.
COS o COS )
Setzen wir daher q0 + co === n und eliminieren (p und co, so ergiebt
sich dx = de [cos cos ne + m sin a sin n,,
dy = de [cos a * sin n - m sin sin n].
Integriert man, so findet sich, abgesehen von unwichtigen Konstanten,
m n-1 n- -1
n -- l -- 1
m+ 1 sin (n-1) - + CO (n + 1)
y = _ - cos(n )- 1) + -+ cos(n+l).
Diese Gleichungen stellen nun (vgl. Kap. 9 des folgenden Abschn.)
Epicykloiden dar, die algebraisch sind, wenn n eine rationale Zahl
ist; folglich sind alle algebraischen Epicykloiden rektifizierbar durch
Ellipsenbogen.
168. Die Untersuchung der durch elliptische Integrale rektifizierbaren Kurven beschäftigte aufser Euler auch Legendre1), der
eine Kurve sechster Ordnung mit dieser Eigenschaft fand; ferner
J. A. Serret, der sich die Aufgabe stellte, alle rationalen Kurven mit
dieser Eigenschaft zu bestimmen; er betrachtete dieses Problem als
1) Traite des fonctions elliptiques I. (Paris 1827) S. 35. - Die Legendre'sche
Kurve 6ter Ordnung wird durch die Gleichungen dargestellt:
x ==h sin( sin1 qp s )n, y bh cos P(1 + m- -cos2),
wo 3/k2 1 -2 k
m 1 —k2' h- b2
infolgedessen ist - d p _ k2
s k2 sin - b sin q. cos (9 (qp).
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