Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünfzehntes Kapitel: Geometrie der Polynome. 377
Daraus läfst sich ein bemerkenswerter Satz ableiten. Die Gleichung
der ersten Polare eines unendlich fernen Punktes in Bezug auf die
Kurve aP (x, y) b Q (x, y) = 0 hat eine Gleichung von folgender
Form: a(\, + aQ aQ
oder auch infolge der vorhergehenden Gleichung
/<. a a\ / a ap\
+ y ( -a + o;
*2 a __ a2
weil nun +2 +- ay2 -
so sieht man: Die ersten Polaren der Punkte der unendlich fernen
Geraden in Bezug auf eine Stelloide nten Grades sind Stelloiden
(n - 1)ten Grades.
Um eine andere Eigenschaft der Stelloiden darzulegen, stellen
wir, wie es Darboux gethan, einen beliebigen Punkt M durch zwei
komplexe Zahlen dar, die konjugiert sind oder nicht, jenachdem 1M
reell oder imaginär ist (sog. imaginäre symmetrische Koordinaten); wir bezeichnen dann als Gegenpaar des Punktepaares P, Pk
die beiden Punkte, welche das dritte Paar von Gegenecken des vollständigen Vierseits sind, das entsteht, wenn man von P, und Pk aus
die beiden Kreispunkte projiziert. Weil nun ch und c die imaginären
symmetrischen Koordinaten von Ph sind und ck, C die von Pk, so
werden ch, c und c^, c die der Punkte Qhk, Q;,'k sein, die das Gegenpaar von Ph, Pk sind. Da nun die Gleichung (12) in ausführlicher
Weise folgendermafsen geschrieben wird:
(x+ iy-c1)(x+ iy -c2)..... — (x+ iy -cn) c+i (2)
(x - iy-) (x -iy - 2)...... (x-iy c) -i ' ')
so ist klar, dafs sie befriedigt wird, wenn man setzt:
sowohl x + iy =,, x - iy = k,
als auch x + iy c^, x- iy =.
Sie wird daher sowohl durch die Koordinaten der Angelpunkte als
auch durch die Koordinaten der Punkte der n(n ) Paare von Gegenpunkten befriedigt (Gegenpunkte in Bezug auf die von den Angelpunkten selbst gebildeten Paare). Im ganzen giebt es n -+ 2 n ---- 1 n
Punkte, die allen den oox durch (12) dargestellten Kurven, wenn man
c variiert, gemeinsam sind. Diese Gleichung (12) stellt daher ein
Büschel von Stelloiden dar; welches die Grundpunkte desselben sind,
ergiebt sich aus dem Vorhergehenden. Z. B. bilden alle ersten Polaren der Punkte der unendlich fernen Geraden in Bezug auf eine
beliebige Stelloide ein solches Büschel.