Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

374 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
wo d eine ganz beliebige Konstante ist; mit (7') kann man gerade
so verfahren, wie wir es mit (7) gethan haben, und zu ähnlichen
Schlüssen gelangen; der einzige Unterschied besteht darin, dafs die
Gleichung f(z) c ersetzt ist durch f(z)= c + dei7, und daher die
festen Punkte Pk verändert sind. Man sieht also: Die regulären oder
irregulären Hyperbeln ner Ordnung sind oo' Definitionen fähig, ähnlich der oben angegebenen; infolgedessen hat man ool Gruppen von
n festen Punkten, die alle denselben Schwerpunkt haben; die entsprechenden Orientierungen sind alle einander gleich.
Wir betrachten in der Ebene 11 zwei beliebige Geraden, die den
Winkel cc bilden; ihnen entsprechen in Z zwei Hyperbeln, die sich
unter einem Winkel schneiden, der in jedem Punkte für sie derselbe
ist; folglich: Zwei Holzmüller'sche Hyperbeln derselben Ordnung, die
auf dieselben festen Punkte bezogen sind, schneiden sich in allen
gemeinschaftlichen Punkten unter demselben Winkel.
Betrachten wir jetzt in der Ebene 17 einen Kreis mit dem Centrum (a, b) und dem Radius R und beachten, dafs seine Gleichung
(Z- )(Z- ) = R2
so sehen wir, dafs er sich in die Kurve verwandelt
(f( - c) f() - C)=R2
oder wegen Gleichung (8)
1 ( - C ( - C) = r2;
nun bedeutet (z - c) ( - ck) das Quadrat des Abstandes dk des
Punktes M(x,y) von dem Punkte Pk(a, bk); daher ist diese Gleichung äquivalent mit der anderen
- 4 d2 d3... d= R.
Folglich: Bei der durch die Gleichung (6) definierten isogonalen Transformation entsprechen den Kreisen in der Ebene H Kurven von der
Ordnung 2n in der Ebene x; jede derselben ist der Ort der Punkte,
deren Abstände von n festen Punkten ein konstantes Produkt ergeben.
Für n = -2 sind diese Kurven Cassini'sche Ovale (Nr. 90) oder im
speziellen Bernoulli'sche Lemniskaten (Nr. 93); im allgemeinen werden
sie nach Holzmüller Lemniskaten höherer Ordnung genannt,
reguläre, wenn p, ==P2 =.. - =-p, =0, irreguläre im allgemeinsten Falle') und nach F. Lucas Aquipotenzialkurven2); die regulären wurden in älterer Zeit von W. Roberts Cassinoiden mit
1) S. 172 und 204 des eben angeführten Werkes.
2) S. die Note Determination electrique des racines reelles et imaginaires de
la derivee d'un polynome quelconque (C. R. CVI, 1888); wo eine electrische Methode angegeben ist, diese Kurven zu zeichnen.