Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

14. Kapitel: Autopolare Kurven, anallagmatische u. Richtungskurven. 365
man schliefst daraus, dafs
r=n
n! (C + == c( - r a2 ao Q 2 + )n= a"o;
r=O
daher ist ( f(- oyo)
~0
welche Gröfse thatsächlich unabhängig von co ist. Nun lassen die
vorhin für die Koeffizienten a, a2,..... gefundenen Werte erkennen,
dafs die Glieder höchsten Grades in den Koeffizienten der Kurve f= 0,
abgesehen von dem Faktor aCo die Potenz (x2 + y2)p bilden, weshalb
f die Form hat (x2 + y2) + F(x, y) = 0, wo F ein Polynom von
niedrerem Grade als 2p ist. Wir sind daher in der Lage zu schliefsen,
dafs die Kurven gerader Ordnung 2p, die eine Potenz in Bezug auf
jeden Punkt ihrer Ebene haben, p-fach cirkulare Kurven sind.
II. Wenn n 2p - 1, und man nimmt in (5) zunächst
r= 0, 2,4,...., dann r=2p 1, 2p -, 2p-3,......, so
sieht man, dafs alle Koeffizienten ar 0 sind; folglich giebt es keine
Kurven ungerader Ordnung, die eine Potenz in Bezug auf alle
Punkte ihrer Ebene haben.
Bisher haben wir angenommen, dafs der feste Punkt 0 der Kurve
selbst nicht angehöre. In diesem Falle, f(x, yo) 0, hat die Gleichung (4) eine Wurzel = 0, und als Potenz von 0 erhält man die
Gröfse: (f +
f = Qz~ P2 6t')n- t = ( —x)~ a" +. (n)
wenn diese unabhängig von co ist; dies tritt thatsächlich ein, wenn
0 ein Doppelpunkt ist, weil dann r = 0. Diesen trivialen Fall ausgeschlossen, sieht man, nach einer einfachen Diskussion, dafs diese
Thatsache nur, dann eintritt, wenn r alle Glieder höchsten Grades
verliert; dies führt zu dem Schlusse, dafs es keine algebraischen
Kurven giebt, die in Bezug auf alle ihre Punkte eine Potenz haben.
Dennoch giebt es Kurven, die in Bezug auf einige ihrer Punkte eine
Potenz haben; so hat Ruffini - mit Beweisen der Art, wie die hier
angeführten - gezeigt: Jede Kurve von der Ordnung 2p + 1, die
p-fach eirkular ist, hat eine Potenz in Bezug auf die Berührungspunkte der Tangenten, die man an sie von dem einzigen reellen
Punkte, den sie auf der unendlich fernen Geraden besitzt, ziehen
kann.
160. Wir wollen dieses Kapitel - welches wie das vorige hauptsächlich solchen Kurven gewidmet ist, die aus der Theorie spezieller
geometrischer Transformationen hervorgehen - nicht abschliefsen, ohne
zuvor einen Hinweis auf die Richtungs-Kurven (courbes de direction)
zu geben, zu denen E. Laguerre gelangte im Verlaufe seiner Unter