Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

1 2 I. Abschnitt: Ebene und körperliche Örter.
besonderen Kegelschnitt untersuchte, der in Bezug auf die Hyperbel
gewissermafsen zu dem auf die Ellipse bezogenen Kreise analog ist,
nämlich der "gleichseitigen oder rechtwinkligen Hyperbel"l). Übrigens
betrachtete Poncelet mit Hülfe der von ihm erfundenen Methoden die
Kegelschnitte als zum Kreise homologe Kurven und legte die ganze
Fruchtbarkeit des so gewonnenen Begriffes klar.
Kurz darauf brachten J. Steiner in Deutschland und M. Chasles
in Frankreich den alten Begriff des Doppelverhältnisses wieder zur
Anwendung und zeigten so die Möglichkeit, die Kurven zweiter Ordnung aufzufassen als Erzeugnisse von Grundgebilden erster Stufe in
projektivischer Beziehung. Staudt ferner zeigte nicht nur, wie man
jene Definition von jeglicher metrischen Zuthat befreien könne, sondern auch, wie man in gleicher Weise die reellen und imaginären
Kegelschnitte definieren könne, indem man beide Arten betrachtet als
Ordnungs-Kurven ebener Polaritäten.
In der Zwischenzeit wandten die Analytiker auf die ~Triade des
Menächmus" alle die Koordinatenmethoden an, die nach und nach
erfunden wurden, insbesondere die charakteristischen Fortschritte der
Geometria intrinseca (Anwendung der natürlichen Koordinaten, Bogenlänge und Winkel der Tangente, Krümmungsradien)2); überdies wurde
eine Beziehung bemerkt zwischen der Geometrie der Geraden im
Raume und der Totalität der Kegelschnitte einer Ebene, die einer
gewissen Bedingung genügen3). Schliefslich wurden die Grundlagen
einer Geometrie des Raumes gelegt, die den Kegelschnitt als eigentliches Grundelement benutzt.
Das sind vielleicht alle neuen Ausblicke, welche die moderne
Geometrie der Theorie der Kegelschnitte eröffnet hat, aber wie könnten
wir uns einbilden, auch nur eine Idee aller der besonderen Eigenschaften anzugeben - unter denen sich sogar die "sozial properties"
finden4) - die an dieser berühmten Kurve sich ergeben haben. Eine
einfache Sammlung der ausgesprochenen Sätze, die sich darauf be1) Es ist die Kurve, die 0. Terquem seinen Landsleuten kurz Hypercle
zu benennen vorschlug (Nouv. Ann. X, 1851, S. 127).
2) E. Cesaro, Lezioni di geometria intrinseca (Neapel 1896) S. 38-39;
G. Pirondini, Sur la conique osculatrice des lignes planes (Jornal di Teixeira,
XI, 1894); G. Scheffers, Einführung in die Theorie der Cterven in der Ebene
und im Raume (Leipzig 1901) S. 53-54. Der Leser, der genauere Angaben
über den Ursprung, die Entwickelungsstadien und den sonstigen Stand dieser
Theorie wünscht, findet diese in einem Aufsatze von E. Wölffing: Bericht iber
den gegenwärtigen Stand der Lehre von den natürlichen Koordinaten (Bibliotheca
Mathematica III, Folge I (Leipzig 1900).
3) S. einen Brief von L. C remon a an E. Beltrami in B. VIII des Giornale
di Battaglini. 1870.
4) S. die merkwürdige Schrift: he romance of mathematics, besprochen in
Nature. May 8. 1888.