Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

344 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
können in die mit einem Centrum versehenen projiziert werden
(s. Nr. 14); die Kurven höherer Ordnung besitzen im allgemeinen kein
Centrum, noch auch können sie in centrische Kurven projiziert werden;
dennoch existieren viele Kurven 4tr, 6ter und auch höherer Ordnung,
die sich dieser wichtigen Eigenschaft erfreuen (s. Abschn. III u. IV).
Dafs es centrische Kurven beliebiger Ordnung giebt, ersieht man,
indem man beachtet, dafs, wenn man im allgemeinen mit f, eine
binäre Form in x, y (kartesischen Koordinaten) von der Ordnung 7c
bezeichnet, die Gleichungen
fo +2 + 4+ - f +f- = O f+ t3 + ft +.. f2V-1= O. (1)
zwei solche Kurven darstellen, die erstere von der Ordnung n = 2u,
die zweite eine von der Ordnung n = 2v - 1, welche beide den Anfangspunkt als Centrum haben. Die erste enthält
1+3-+-+. +(2tt+ 1)=(u+ 1)2 n(n + 4) 1
i + 3 + 5 +... + (S2 it )=($ + i )+ (~ + 4
Konstanten, während die zweite deren enthält
2+4+... 2v + v(v+ 1)=n(n +4) - 1 +
n (n - 4) n(n +4) -1
Daraus folgt: Es giebt oo 4 oder oo 4 Kurven ner Ordnung, die einen gegebenen Punkt als Centrum haben, jenachdem n
n(n+3)
gerade oder ungerade ist. Da es nun oo 2 Kurven von der Ordnung n giebt, so ist der Umstand, einen bestimmten Punkt als
Centrum zu haben, für eine Kurve nter Ordnung äquivalent mit n(n 2)
oder (n + 2- einfachen Bedingungen, jenachdem n gerade oder
4
ungerade ist. Man erkennt auch, dafs, wenn das Centrum der Lage
n(n+-4)+8 n (n+4)+ 7
nach nicht gegeben ist, es in der Ebene 0o 2 oder o0 2
centrische Kurven von der Ordnung n giebt, jenachdem n gerade,3jn(n -+- 4) -+ 8 n(n +- 4) + 7
oder ungerade ist. Durch n(n 4) oder ( 4) + beliebige
Punkte der Ebene gehen daher im allgemeinen eine endliche Zahl
centrischer Kurven von der Ordnung n; die Bestimmung ihrer Anzahl
ist ein Problem, das Steiner für einige spezielle Fälle gelöst hat,
das er im allgemeinen aufgestellt hat ), von dem wir aber glauben, dals
es bis heute noch nicht gelöst worden ist. Da in den Gleichungen (1)
eine gewisse Anzahl Glieder fehlen können, so folgt: Eine centrische
Kurve gerader Ordnung enthält selbst ihr eigenes Centrum entweder
garnicht, oder sie geht durch dieses eine gerade Anzahl von Malen
hindurch; eine centrische Kurve ungerader Ordnung hingegen geht
1) Aufgaben und Sätze (Crelles Journ., XLVII, S. 105, Nr. 1).