Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

338 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
daher
OD-= OG-OCn_2 OG- OB 2 2rcosq sin (n2- 3) p
n-2 ~ i~-a sin (- - 2) - sin
Bezeichnen wir nun mit den Winkel PO, OD, so ergiebt, da nach
der Konstruktion 0 Pn= OD, die Relation
/AAoOD +A DnOP, =AAn OP,,
oder r + sinp sin -- 5r sin (p r sin( ),
und infolgedessen sin (qp + p) - sin q
en - sin '
Vergleicht man diese Beziehungsgleichung mit (12'), so sieht man,
dafs == (n - 1)(p; daher ist
< AOA,- n. Ao OA;
A0OAn+ = (n + 1) < ) AOi,
wie eben der ausgesprochene Satz besagte.
Variiert man p, so stellt die Gleichung (12) oder (12') in Polarkoordinaten den Ort z/ der Punkte Dn dar, wobei 0 Pol, OA Polaraxe ist. - Setzen wir nun OPn, = Q ncp -- = G, so werden, weil
OPn = OD = ), die angeführten Gleichungen zu
cos -- sin co — sin
Q = r^ -- (17) =-r s_ -. (17')
cos - co sin eo
2 n
und stellen dann in ähnlicher Weise den Ort H der Punkte Pn dar.
Ist nun die Kurve H konstruiert, so läfst sich die n-Teilung eines
beliebigen Winkels mit Leichtigkeit ausführen. Legt man nämlich
denselben mit dem Scheitel in 0 und mit dem einen Schenkel längs
OAo so schneidet der andere Schenkel OA, die Kurve H im Punkte P,.
Man ziehe die Gerade AoPn und bestimme deren zweiten Schnitt D1
mit dem Kreise, dessen Mittelpunkt 0 und dessen Radius OP, ist;
wird nun die Gerade ODnA1 gezogen, so ist der Winkel A OAo der
nte Teil des gegebenen. - Dieselbe Kurve dient jedoch auch zur
Teilung eines Winkels in n - 1 gleiche Teile. Legt man ihn nämlich mit dem Scheitel in 0 und mit dem einen Schenkel auf die
Grade AoO, bezeichnet den Schnittpunkt des anderen Schenkels mit
dem gegebenen Kreise mit A+1, zieht die Gerade A0oAn+ und ist
dann P der Schnitt dieser Geraden mit der Kurve H7, so ist der
Winkel POA,+1 der (n +1)t Teil des gegebenen.
Der Kürze wegen wollen wir uns nicht mit der Diskussion der
Kurven z und H1 aufhalten und nur bemerken, dafs für n = 2 die
G1. (12') wird zu - = r(2 cos p - 1), die eine besondere Pascal'sche