Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zwölftes Kapitel: Die Trisektrix-Kurven. 335
Vielfältigkeit 2 n sind A und die imaginären Kreispunkte, während
B ein vielfacher Punkt von der Ordnung 2 n- 1 ist; jede Kurve
/n+i ist rational und von der Ordnung 4n +2, B und die Kreispunkte sind (2n-+1)-fache Punkte derselben, während A nur ein
2n-facher ist. Keine dieser Linien hat reelle Punkte im Unendlichen.
Wir wollen noch eine letzte Bemerkung machen betreffend die
Anwendung der Kurven F,2 und r-~+i auf die Aufgabe der Teilung
eines Winkels. Aus den vorhin aufgestellten Winkelberechnungen,
ergeben sich leicht folgende weiteren:
AP2niB- 2n PR2BS
< AP + B ~ *. < PnAiR.
Wenn man also einen Winkel konstruiert mit dem Schenkel in B
und mit dem einen Schenkel auf BS, der gleich einem gegebenen
Winkel a ist, so wird der andere Schenkel die Kurve ri, in 2n + 1
Punkten P schneiden. Verbinden wir einen beliebigen derselben
mit den Punkten A, B, so erhalten wir einen Winkel, welcher der
(2n + 1)te Teil von o + k (k==0,1,2,, 2n) ist. Ahnlich, wenn
wir ihn zeichnen mit dem Scheitel in A, mit dem einen Schenkel auf
AR, gleich einem gegebenen Winkel ~, so wird der andere Schenkel
r2"+ in 2n + 2 Punkten P2 + schneiden; verbinden wir einen
beliebigen derselben mit den Punkten A, B, so erhalten wir einen
Winkel, welcher der (2n + 2)te Teil von a + kzr ist (k = o, 1, 2.. 2n + 1).
Liegt also die Kurve rm gezeichnet vor, so wird die Teilung eines
beliebigen Winkels in in + 1 Teile ausführbar sein.
149. III. Analog zu den vorhergehenden Sektrices sind diejenigen Kurven, von denen jede der Ort der Spitzen P eines Dreiecks
ist, dessen Grundlienie AB fest ist, und dessen Höhe PH den Winkel
APB in zwei Teile teilt, die in dem Verhältnisse stehen wie 1: (n - 1)1).
Setzen wir 1 APH= p, so ist C BPH= (n- 1) 9. Nehmen wir
nun ein kartesisches Koordinatensystem, das A als Anfang und AB
als x-Axe hat, so erhalten wir, wenn AB = a,
x = y. tgcp, a - x -- y tg(n - 1)
und daher: sin. cos ( -1) p os. cos (nz —.l)p
x- --- - (1)
s p sin sn n qp
welches die parametrische Darstellung der Kurve ist. Es ergiebt sich
daraus, dafs dieselbe rational und, wenn n eine (positive) ganze Zahl ist,
von der Ordnung n, mit A als (n - 1)fachem Punkte. Setzen wir
= x2 + y2", q= -,
1) Hesse, Über die Teilung des Winkels, speziell die Trisektion (Montabaur 1881).