Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zwölftes Kapitel: Die Sektrix-Kurven. 331
PA'P'; wenn wir also einen der Punkte P', P kennen, so ist auch
der andere bestimmt, und liegt eine der Kurven Cn, rn gezeichnet vor,
so läfst sich auch die andere punktweise mit Leichtigkeit bestimmen.
Sei P (Taf. XII, Fig. 88) ein beliebiger Punkt von CQ, P' der
Punkt von n_2, der auf der Geraden AP liegt, so hat man, wenn
P PAA' = p, PA'B = np, P'A'A = (n- 2)p,
und daher
k P'PA' = (n - 1)9, 0: AP'AY = (n- 1)9.
Dies zeigt, dafs das Dreieck PP'A' ein gleichschenkliges ist, dafsmit anderen Worten- P und P' auf einem Kreise mit dem Centrum
A' liegen; ist daher die Kurve Jr_, gezeichnet, so kann man auch
die Kurve C, punktweise konstruieren.
Wenn wir diese beiden Ableitungsgesetze wechselweise mit einander kombinieren, so gelangen wir zu folgenden beiden Reihen von
Kurven, deren jede aus der vorhergehenden abgeleitet werden kann
r0 2O 2 4 r4....,. 12 2n 2 *..; r 1C3 r3 C5 *.. r2n-102,.....
Nun wird für n = 0 bekanntlich die Gleichung (8) zu Q = 0, also
ist Fo ein Punkt; während dieselbe für n = 1, wird Q cos p =- a,
welche die Gerade b darstellt, den Ort der von A und A' gleichweit
entfernten Punkte; wenn wir also vom Punkte A oder der Geraden b
ausgehen, so gelangen wir durch Anwendung jener beiden einfachen
Ableitungsverfahren zur Konstruktion aller Araneiden.
Von Heymann wurde noch eine andere bemerkenswerte Eigenschaft der Araneiden für spezielle Fälle bewiesen und für den allgemeinen Fall ausgesprochen. Um diese darzuthun, nehmen wir die
durch Gleichung (7) dargestellte C, mit einem beliebigen durch die
Punkte A und A' gehenden Kreise geschnitten. Da die Gleichung
des letzteren die Gestalt hat
2 cos (c - )
cos o
so sind die Anomalieen 9p der Punkte, in denen er von der C, geschnitten wird, die Wurzeln der Gleichung
cos (qp - a) sin ncp
cos a sin (n- 1) p
Nun kann man diese auch folgendermafsen schreiben:
sin Sp. cos (n- 1. p w - ) 0,
ihre Wurzeln sind, wenn k eine ganze Zahl, cp = k, die aber nur die
Punkte A und A' liefern, und
(27k + 1)-2- 2
r- 2 (n - 1);
um Wurzeln zu erhalten, die zu einander inkongruent (mod zr) sind,
mufs man dem k die Werte geben 2, 4,..... 2 (n- 1); man wird