Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Elftes Kapitel: Die Multiplikatrix- und die Mediatrix-Kurven. 321
Schnittpunkt M, derselben mit der durch T zur y-Axe gezogenen
Parallelen bestimmt, so erhält man die Gleichung des Ortes von
M1(x1,yi) durch Elimination von x und y aus den Gleichungen
Xa2 y2 *X 2 C62X; _2 a - 1y 2 b2
6+ —= xxi=a X y
als 62x,2y,2 (x,2 - a2)(x2 - a2 +2 b2)2;... (10)
auch diese nimmt im Falle b= a, von dem Faktor xi, befreit, die
Form von (7) an, wie oben angedeutet.
144. Diejenigen Kurven, welche - in gleicher Weise wie die
meisten in diesem Kapitel auftretenden - zur Lösung des verallgemeinerten Delischen Problems, d. h. zur Vervielfältigung des Würfels
und zur Einschaltung einer beliebig vielfachen mittleren Proportionale
zwischen zwei gegebenen Strecken dienen können, kann man Multiplikatrix- bezw. Mediatrix-Kurven nennen. Zu dieser grofsen
Kurven-Gattung gehören auch vier Gruppen von Kurven, die Alexis
Clairaut erdacht hat, als er erst zwölf und ein halbes Jahr alt war.
Die Abhandlung, in welcher er diese veröffentlichte, erntete in der
Sitzung vor 18. Mai 1726 die Billigung und den Beifall der Pariser
Akademie und wurde kurz darauf durch Vermittelung der Berliner
Akademie veröffentlicht'); wir wollen hier dabei verweilen ihren Inhalt darzulegen.
I. Es sei ein rechter Winkel xOy gegeben (Taf. IX, Fig. 84)
und auf dem einen Schenkel desselben ein Punkt A; man suche den
Ort des Punktes M, so dafs, wenn man die Senkrechte MQ auf Ox
fällt, MQ2OA OM.
Die Gleichung dieses Ortes ist offenbar
y a x2+y.... (11)
der Ort selbst ist demnach eine Kampyla. Diese Gleichung läfst sich
aber leicht verallgemeinern und giebt dann, wenn in eine positive
rationale Zahl ist, +
y-=- am- X2 + y,...... (12)
welche eine neue Kurve darstellt, deren Anwendung auf das verallgemeinerte Delische Problem wir zeigen wollen. Zu dem Zwecke
beschreiben wir um den Mittelpunkt 0 mit OA als Radius einen
Kreis; er schneide die Gerade OM in G, während diese von dem
in A auf Ox errichteten Lote in F geschnitten wird. Man erkennt
nun leicht, dafs die durch Gleichung (11) dargestellte Kurve sich der
durch 0OF =OGO OM
ausgedrückten Eigenschaft erfreut. OF ist also mittlere Proportionale
1) Quatre problemes sur de nouvelles courbes par M. Alexis Clairaut le Fils
(Miscellanea Berolinensia IV, Berlin 1734).
L o ri a, Ebene Kurven. 21