Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

316 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
Benutzen wir die bekannten Ausdrücke für die Koordinaten t und u
des Krümmungsmittelpunktes, so ergiebt sich
t = - p( + p 2), = p - + (1 +p2. (12)
Dies ist die gesuchte analytische Darstellung der dreieckigen Kurve;
sie zeigt, dafs der Krümmungsradius B der Kurve (11) gegeben wird
durch BR 1/(1 +p2) d-S.. (3)
Aus (12) kann man ableiten
dt 2 d2S d3S du dsS t3S
lp - 3P — p - p (13- p_ pp d + (1 + p2) -p (04)
dpd dps lp APdp31 pC dp^ d ^ (dp3
und daher ist dt + p du (
dp - dp? = o.......
in jedem reellen Punkte der Kurve, für welchen d- = 0, ist auch
d-= 0 und umgekehrt, daher ist dieser Punkt ein singulärer Punkt,
dp
d. h. eine der drei Spitzen der Kurve (vorausgesetzt, dafs diese die
einzigen vielfachen Punkte der Kurve seien).
Aus der Gleichung (14) leitet man ferner ab, wenn s den Bogen
der dreieckigen Kurve bedeutet:
S __ /7d\2s du\2 d r/1(f 2) dS
dp. \ -p + (dp) -- dp.p+i) '
weshalb wegen (13) s == - + Const.,
was man übrigens voraussehen konnte, weil ja die Kurve (12) die
Evolute der Kurve (10) ist.
Elftes Kapitel.
Die Multiplikatrix- und die Mediatrix-Kurven.
142. Bei der in Nr. 139 dargelegten Konstruktion der Münger'schen Ovale führen wir die spezielle Voraussetzung ein, dafs der Punkt
0 auf der Peripherie des gegebenen Kreises liegt; dies ist gleichbedeutend mit der Annahme d — r; die dortigen Gleichungen (2)
und (3) werden dann zu
Q 2r. cos27+ co... (1)
resp. (x2 + y2)n+l= 2rx +... (2)
und stellen dann eine Kurve von der Ordnung 2(n + 1) dar, die im
Anfange einen (2 n + l) fachen Punkt hat, dessen sämtliche Tangenten
mit der y-Axe zusammenfallen.