Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zweites Kapitel: Der Kreis. 7
Vermutung: "I1 est mnme probable que le nombre f n'est pas memne
compris dans les irrationelles algebriques, c'est-a-dire qu'il ne peut
pas etre la racine d'une equation algebrique d'un nombre fini de
termes dont les coefficients sont rationels". Dafs diese Vermutung
mit der Wahrheit sich deckt, wurde 1882 von F. Lindemann gezeigtl), dem das hohe und unbestreitbare Verdienst zukommt, endlich eine Frage gelöst zu haben, die Ströme von Tinte hat fliefsen
lassen, die zu langen und lebhaften Polemiken Veranlassung geboten
und zum Umsturz von Ansichten geführt hat, die man ganz gefestigt glaubte. Der Lindemannsche Satz gestattet ferner auch ohne
vorherige Prüfung jegliche Quadratur oder Rektifikation des Kreises,
die durch eine algebraische Kurve ausgeführt wird, speziell solche
mit Lineal und Zirkel ausgeführte, als falsch zu erweisen.
7. Die leichte Definition des Kreises, die in so scharfem Kontraste mit der schwierigen Definition der Geraden steht (vgl. 2), liefs
die Hoffnung entstehen, die Gerade entstehen zu lassen, indem man
vom Kreise ausging. Es ist dies eine geniale Idee, deren Keime sich
schon im Anhange eines Briefes finden, den Leibniz am 8. Sept. 1679
an Huygens richtete2). Eben diese Idee wurde viel später von
Johann Bolyai entwickelt, der daraus das Fundament jenes geometrischen Systems bildete, welches seinen Namen ruhmbekränzt der
fernsten Nachwelt überliefern wird.
Vergeblich wäre der Versuch alle Untersuchungen der reinen
und angewandten Mathematik aufzuzählen, in denen der Kreis eine
Rolle spielt3), oder ein möglichst vollkommenes Verzeichnis der an
ihm beobachteten Eigenschaften aufzustellen. Nur eine deskriptive und
eine Mafseigenschaft wollen wir hervorheben: erstere besteht darin,
dafs alle Kreise der Ebene durch die beiden unendlich entfernten
imaginären Kreispunkte (oder die cyklischen Punkte) der Ebene gehen;
letztere darin, dafs die Kreislinie von allen Linien, welche eine gleichgrofse Fläche umschliefsen, die kleinste ist. Wir schliefsen dieses
Kapitel mit der Bemerkung, dafs man neuerdings die Möglichkeit
entdeckt hat, den Kreis als Element des Raumes zu benutzen, und
so hat man eine ~Geometrie des Kreis-Raumes" aufgestellt, die gewissermafsen ein Analogon ist zu der von Plücker auf die Betrachtung der Geraden gegründeten.
finden sich zu dem interessanten Werkchen von F. Ru dio, Archimedes, Huygens,
Lambert, Legendre, Vier Abhandlungen üiber die Kreismessung (Leipzig 1892).
1) Vgl. F. Klein, Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementarmathematik (Leipzig 1895).
2) Leibniz, herausg. v. Gerhardt, B. II (Berlin 1850) S. 20-25.
3) Poppe, Ausführliche Geschichte der A-nwendung aller kr'ummen Linien
in mechanischen Künsten und in der Architektur, seit den ältesten Zeiten bis zu
Anfang des 19. Jahrhunderts (Nürnberg 1802) S. 1-98 und 130-194.