Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

296 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
nun ist 11 ein Kreis, also vi= 2, und folglich ist im allgemeinen
v'n= 2. Daraus geht hervor, dafs die unendlich ferne Gerade für die
Enveloppe ß2 eine 2(n - 1)-fache Gerade ist.
Zu denselben Schlüssen kann man auch auf dem Wege der Rechnung gelangen. Man stelle die n gegebenen Geradenpaare dar durch
die Gleichungen
x -X _ -Y Yk (
sin(akTdk) - cos(czk7ik) (k= 1,2,3...n).
sin (% 4-+ dk) cos ( ak - + k)
Wir nehmen dann einen beliebigen Punkt P (x0, o), ziehen durch ihn
die beliebige Gerade x- x -
cos a sin a
und suchen die Bedingung auf dafür, dafs sie der gegebenen Enveloppe Q2 angehöre. Wir werden dann die Gleichung finden
k-==-n
[(xk - o) COS as (Yk - Yo) sin c] cos k (12)
OOC~Y Ü~-ak+Jk. (lk)
k1 =i coss sin2 2
die als Grundlagen der analytischen Untersuchung der fraglichen Enveloppe dienen kann, insbesondere zur Behandlung der algebraischen und
geometrischen Fragen, von denen Darboux in seiner Abhandlung
spricht und auf denen das erhebliche Interesse beruht, das die betrachteten Kurven beanspruchen dürfen. Wir können uns hier in das
Studium derselben nicht vertiefen; bevor wir jedoch die Kurven von
Darboux IIte' Spezies verlassen, wollen wir noch bemerken, dafs sie
durch die Kreispunkte der Ebene gehen, rational sind und in speziellen Fällen sich auf Darboux'sche Kurven Ier Spezies reduzieren.
Aufserdem können sie als die Polarreziproken in Bezug auf einen
Kreis angesehen werden von solchen Kurven, die eine Gleichung von
der Form
= f(cos o, sin o)
haben, wo f eine rationale, ganze oder gebrochene Funktion von
cos c und sin co bedeutet.
133. Eine gleichseitige Hyperbel ist eine Kurve zweiter Ordnung, deren Asymptoten rechtwinklig aufeinander stehen. Giebt es
nun Kurven nter Ordnung, bei denen n Asymptoten in einen Punkt
zusammenlaufend den umliegenden Winkelraum in n gleiche Teile
teilen, also ein ~reguläres Büschel" bilden? Diese Frage hat sich
P. Serret vorgelegt, der den mit dieser Eigenschaft ausgestatteten
Kurven den Namen Equilateren gab1).
1) S. die Abhandlungen Sur les hyperboles equilateres d'ordre quelconque;
Sur les faisceaux reguliers et les equilateres d'ordre n und Str les equilateres
n-2 2k -1
comprises dans ls edquations 0 -= l I T1' = HIn, 0 ==~ —1 T -- Hn +- i H (C. R.,
CXI, 1895). 1 1