Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Siebentes Kapitel: Die Kurven v. Darboux u. die Equilateren v. P. Serret. 293
nach ist die Kurve A im allgemeinen von der Ordnung 2(n -1). -
Wir wollen auch die Tangenten aufsuchen, die einer gegebenen Richtung parallel sind; wir betrachten zu dem Zwecke die Gleichung
x cosa +- y sin a-p =... (6)
nehmen an, dafs in dieser der Winkel a gegeben sei, und suchen p
in der Art zu bestimmen, dafs die durch sie dargestellte Gleichung
die Kurve A/ berührt. Wir eliminieren daher aus Gleichung (6) die
x, y vermittelst (3) und erhalten folgenden Wert für k k= 0 Ak
OA -- xk cos a + y~k sin a - P
Okk = cos (c - k,);
setzen wir dies in (1) ein, so wird jene zu
k AxSk cos + yk p sin p.... (7)
2y k cos (a - X) + c = o
Da dies eine lineare Gleichung in A ist, so sieht man, dafs die Kurve A
nur eine einzige Tangente parallel zu einer gegebenen Richtung hat;
dies bedeutet dann, dafs die unendlich ferne Gerade (n-l) fache
Tangente der Enveloppe z ist'). Die Kurve z ist infolgedessen
rational und hat keine anderen vielfachen oder Inflexions-Tangenten;
sie ist aber mit 2 (n- 2) (n- 3) Doppelpunkten und 3(n- 2)
Spitzen versehen.
Eliminieren wir p aus den Gleichungen (6) und (7), so erhalten wir
N A, (x -x~) co + (y - in.. (8)
kZL inieseri —cos (" - k)
Lassen wir in dieser Gleichnng a variieren, so stellt sie alle Geraden
der fraglichen Enveloppe dar. Setzen wir im Speziellen ac -2 + -a,
ein, so fällt a fort, folglich berührt die Enveloppe A die n Geraden rk.
Setzen wir n = 2, so erhält man eine Kurve zweiter Ordnung,
die die beiden Geraden und die unendlich ferne Gerade berührt: sie
ist also die Parabel, von der wir ausgegangen sind. Nehmen wir
n 3, so erhält man eine Kurve 3ter Klasse, 40er Ordnung, ohne
Doppelpunkte, aber mit 3 Spitzen, welche die unendlich ferne Gerade
in den Kreispunkten berührt: sie ist demnach eine dreispitzige
Hypocykloide (vgl. Nr. 73). Setzen wir schliefslich n = 4, so erhält man eine Kurve 4ter Klasse und 6ter Ordnung, die mit 4 Doppelpunkten und 5 Spitzen versehen ist und die unendlich ferne Gerade
dreifach berührt; auf diese Kurve stiefs Laguerre im Verlaufe
seiner Untersuchungen über Transformationen durch reziproke Halb1) Umgekehrt: eine beliebige Kurve von der Klasse n, welche die unendlich ferne Gerade als (n - 1)fache Tangente hat, kann in der oben angegebenen
Weise definiert werden, ebenso aber auch in derjenigen, die in der nachfolgenden
Nummer auseinander gesetzt werden wird.