Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünftes Kapitel: Die Kurven v. Lame u. die triangulär-symm. Kurven. 283
Die vorigen Formeln führen noch zu weiteren Folgerungen. Wenn
man die x aus den Gleichungen (9) und (11) eliminiert, so findet man
m m m
(a1 )16-I1 + (a2t2)tl-1+ (a3S3)?-t = 0; (15)
dies ist die Tangentialgleichung der Kurve (9) und es ist bemerkenswert, dafs sie dieselbe Gestalt hat wie Gleichung (9), nur der Exponent m ist zu u geworden; diese Zahl kann daher der Tangential-,
Index- oder Exponent der betrachteten Kurve genannt werden.
Man erkennt alsbald, dafs die Polarkurven jeder Ordnung r eines
beliebigen Punktes der Ebene in Bezug auf eine trianguläre Kurve
mit dem Exponenten m eine analoge Kurve mit dem Exponenten
(m- r) ist, die dasselbe Fundamentaldreieck hat. Betrachten wir
insbesondere die beiden Kurven
(ix5p (xp () p ( )9q ( xq2 ( 0;. (16)
() + )+ x i o, \)+ + ( ) _ ~;. 1
die letzte Polare eines Punktes der ersteren in Bezug auf die zweite
hat zur Gleichung
xq-l X1 + -1 X, x,-i x = 0;
1 lq n2 q m 3
daher sind seine Koordinaten x1xx3 gegeben durch die Formeln
-1iq
eliminiert man mit Hilfe dieser Gleichungen die x aus der ersten
Gleichung (16), so findet man
qS q+ ( S q i 0p
n12__ +-1 -2 + m1-t t2- + 8-I, 32m - = 0.
Dies beweist, dafs, wenn zwei trianguläre Kurven mit den Exponenten
p und q gegeben sind, bezogen auf dasselbe Dreieck, so ist die
Enveloppe der letzten Polaren der Punkte der ersteren in Bezug auf
die zweite eine Kurve derselben Art mit dem Tangentialexponenten
P - Der andere Exponent ist somit p-. Es möge bemerkt
q-1 p - q+i'1
werden, dafs dieser Satz für q =2 mit einem schon früher aufgestellten übereinstimmt; ferner, dafs die Exponenten der resultierenden
Kurven sich nicht ändern, wenn man die Rollen der Kurven (16)
vertauscht, falls p = q oder p -+ q = 1.
126. Man setze
QX, =x, (i =, 1, 3);... (17)
man gelangt dann zu einer Korrespondenz zwischen den Punkten
P (xi, x2) x) einer Ebene 11 und der Punkten P' (x, x2, x3) einer