Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

272 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
und Pascal hinzuweisen, deren Briefe vom 6. April und 29. Juni 1658
die hier behandelten Kurven betreffen. Es scheint daher, dafs, wenn
der Begriff derselben eine Schöpfung Sluse's ist, der von uns angewendete Name von Pa s c al herrührt ).
Aus der Gleichung (1) geht hervor, dafs die durch sie dargestellte
Perlkurve eine algebraische Kurve von der Ordnung gleich der gröfseren
der beiden Zahlen r + s und p ist; der Anfang ist ein Punkt von
der Vielfachheit gleich der kleineren der Zahlen s und p, während
der Punkt x-=+-a, y=-0 eine Vielfachheit besitzt, die durch die
kleinere der Zahlen r und p ausgedrückt wird. Wenn r -+s<p, so
sind alle unendlich fernen Punkte der Kurve in dem unendlich fernen
von Ox vereinigt, wenn dagegen r + s >p, so vereinigen sie sich im
unendlich fernen von Oy; wenn endlich p r -+s, so hat die Kurve
die r +s Punkte auf der unendlich fernen Geraden derartig liegen,
dafs x=c) o wo co eine (r + s)te Wurzel der Einheit bedeutet.
In dem oben citierten Briefe vom 12. April 1658 behauptet Sluse,
dafs er im stande sei die Tangenten an alle Perlkurven zu konstruieren;
aber welches die von ihm zu dem Zwecke formulierte,unica et brevis regula" gewesen, ist uns nicht bekannt. Jedenfalls ist es leicht,
sich davon zu überzeugen, dafs er sich wohl nicht gerühmt habe, etwas
erreicht zu haben, das er nicht im stande gewesen zu leisten. Beachten wir nämlich, dafs aus (1) folgt
dy _ yrs 1
dx px a _-xiJ
daher wird die Subtangente gegeben durch
d x a(s- p) ~ (r + s- p)x
x aYdyX s (r' + s)x
welcher Ausdruck sich mit Zirkel und Lineal konstruieren läfst, welches
auch die ganzen Zahlen p, r, s sein mögen; die Regel von de Sluse
konnte nichts anderes sein, als ein spezieller Ausdruck dieser Konstruktion.
In demselben Briefe vom 16. April bekannte Sluse, dafs er nicht
wüfste die Quadratur und die Schwerpunkte aller Perlkurven zu finden;
es ist leicht einzusehen, dafs er hier auf eine Schwierigkeit stiefs, die
erst die moderne Analysis völlig aufzuklären im stande ist. Man beachte nämlich, dafs die Gleichung (2) ergiebt:
fy~dx= =ba S xP ( +x)P dx;
nun finden wir auf der rechten Seite ein binomisches Differenzial,
1) C. Le Paige, Correspondance de F. R. de Sluse, publiee poour la premriee fois et precedee d'une introduction (Bullettino di Bibl. e Storia etc. XVII,
1887) S. 494-98.