Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Erstes Kapitel: Die Gerade.
Gerade zu definieren, sind keine Nachrichten auf uns gekommen. Die
Versuche, die zu demselben Zwecke vom Mittelalter an gemacht sind,
zu beschreiben, wäre dasselbe, als wollte man alle die Wandlungen,
welche die elementare Geometrie mitgemacht hat, darstellen; dies
Thema "würdig der Dichtung und Geschichte" überschreitet jedoch
die dieser Schrift gesteckten Grenzen. Wir beschränken uns somit
darauf zu bemerken, wie heute an Stelle des alten Verfahrens, die
Gerade mit wenigen Worten zu definieren - was notwendigerweise
dem Zwecke nicht genügen kann - man das andere gesetzt hat,
jedesmal die Grundeigenschaften anzuführen, die man dem geometrischen Gebilde zuerteilt, das man,gerade Linie" nennt. Wenn man in
dieser Weise vorgeht, kommt man allerdings auf eine sehr grofse
Schwierigkeit, nämlich anzugeben, welches die geringste Zahl von
Eigenschaften der Geraden sei, die man notwendig in die Definition
einschliefsen mufs, um daraus mit Folgeschlüssen alle übrigen abzuleiten. Es ist dies eine Schwierigkeit, die man noch nicht als endgültig überwunden bezeichnen kann, und diese zu überwinden bemüht
man sich thatsächlich, indem man mit Vorliebe die Methoden der
mathematischen Logik als die geeignetsten anwendet.
3. Die Gerade bildet nicht nur einen wichtigen Bestandteil der
Geometrie der Lage, sondern auch ebensosehr der des Mafses, da man
jeglichen Bogen einer Kurve mit einer geradlinigen Strecke zu vergleichen pflegt, und daher ist die Strecke der Kern unseres ganzen
Mafs-Systems für Flächen und Volumina. - Zwei Punkte durch eine
Gerade zu verbinden und eine Strecke nach beiden Seiten zu verlängern
sind Operationen, die (nach den Vorschlägen des Euklid) dem Geometer
zugestanden werden; beide werden praktisch vermittelst eines Instrumentes - des Lineals - ausgeführt, und der Inbegriff der Aufgaben,
die mittelst desselben gelöst werden können, bildet einen besonderen
Zweig der Geometrie, der im Anfange des vorigen Jahrhunderts viel
kultiviert wurde, besonders in Frankreich, wo er mit dem besonderen
Namen Geometrie de la regle bezeichnet wurde. Es soll bemerkt werden,
dafs, wenn in der Ebene ein Kreis gezeichnet vorliegt, man mit alleiniger
Hilfe des Lineals alle Aufgaben zweiten Grades lösen kann. Es ist dies
eine Bemerkung von P o n c e 1 e t 1), welche Steiner meisterhaft entwickelt
hat2). Liegt dagegen eine Kurve dritter Ordnung gezeichnet vor, so
kann man in ähnlicher Weise alle Probleme dritten und vierten Grades
lösen3). Wahrscheinlich trifft Analoges zu für Probleme höherer Grade.
1) Traite des prop)rietes projectives des figures (Paris 1822) Nr. 351-357.
2) Die geometrischen Constructionen, ausgefiihrt mittelst der geraden Linie
und eines festen Kreises. (Berlin 1833.)
3) L o n d on, Die geometrischen Constructionen dritter und vierter Ordniung
ausgefihrt mittels der geraden Linie und einer festen lKurve dritter Ordnung
(Zeitschrift f. Math. XLI, 1896).
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