Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

264 V. Abschnitt: Spezielle algebraische Kurven beliebiger Ordnung.
Wir können noch bemerken, dafs die Kurve folgender parametrischer
Darstellung fähig ist:
a24 a 38
(x ~- 4, Y -- (i +- z4);
aus welcher sich folgende Kollinearitätsbedingung für die drei Punkte
(~), (/), (y) ergiebt:
P"2y + yIa2 + u.ß'2 - 4ßy(ßy + y + u3) + a/ßy(ü + ß + y)
+ 6,a 22y2 - 0;
machen wir darin ß = y, so erkennt man, dafs durch jeden Punkt
der Kurve vier Tangenten gezogen werden können; daher ist die
Kurve selbst von der sechsten Klasse; sie besitzt keine andere Singularität als den im Anfang gelegenen dreifachen Punkt.
IV. Unzählige weitere bemerkenswerte Parabeln wurden vom
Grafen von Fagnano entdeckt. Veranlafst durch einen auf die kubische Parabel bezüglichen und von Joh. Bernoulli (s. oben) entdeckten
Satz, stellte er im Jahre 1714 (Giornale de' letterati d'Italia, XIX, S. 438)
folgende Aufgabe: ~Gegeben sei eine biquadratische Parabel erster Art
(primaria), welche die Gleichung x- = y hat, und ferner sei ein Teil
derselben gegeben; verlangt wird, einen anderen Teil derselben Kurve
anzugeben, so dafs die Differenz der angegebenen Teile rektifizierbar
ist." Da niemand auf die gestellte Frage antwortete, so veröffentlichte Fagnano selbst die Lösung in der wichtigen Schrift: Nuovo
nmetodo per rettificare la differenza di archi (uno dei quali e dato) in
infinite specie di parabole irretificabili1), aus welcher wir hier wenigstens die Grundzüge wiedergeben müssen.
Man betrachte die Parabel mit der Gleichung:
rn +2
2 x 2
2 r (7)
y m+ m....... (7)
a2
wo m eine rationale Zahl, und a eine gegebene Konstante ist. Bezeichnen wir mit t die Länge der Tangente im Punkte (x, y) vom
Berührungspunkte bis zum Schnitt mit der x-Axe, und mit s die
Länge des Kurvenbogens, so ist
ys f j+i2 - fj/i +-1 — ())\2 x;
1) Giornale de' letterati d'Italia, XXII, 1715; oder auch Prodzxsioni matematiche, II. (Pesaro 1750) S, 317-330.