Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zweites Kapitel: Die Parabeln beliebiger Ordnung. 263
Winkel - bilden; auch die Gestalt der Kurve blieb ihnen unbekannt:
Huygens betrachtete nämlich nicht nur den Kurvenbogen OFG, der
innerhalb des Winkels der positiven Axenrichtungen liegt, sondern
fügte willkürlich einen Bogen OF'G hinzu, der zum ersten symmetrisch in Bezug auf die x-Axe liegt, und erhielt infolgedessen, dafs
der Schwerpunkt des von der Kurve begrenzten ebenen Teiles auf
dieser Axe liegen müfste1). Der genannte Bogen OFG geht durch
den Punkt G der x-Axe, der vom Anfangspunkte den Abstand a
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hat und durch den Punkt F, dessen Koordinaten x 256 a und
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Y = 256 a sind, und der ein Kulminationspunkt der Kurve ist. Diese
erstreckt sich dann jenseits von 0 und G ins Unendliche vermittelst
zweier Züge, die innerhalb des Winkels gelegen sind, der von der
positiven x-Axe und der negativen y-Axe gebildet wird. Die durch
den Bogen OFG und die x-Axe begrenzte Fläche wird gegeben durch
X c= X=66
j fy.dx =f(- x + V1ax3)dx ) d,
x=O x=O
infolgedessen, und weil er nun den Bogen OF'G hinzugefügt hatte,
glaubte Huygens sich zu der Annahme berechtigt, dafs die Fläche
der Kurve durch - ausgedrückt würde. - Die irrige Ansicht über
die Gestalt der biquadratisch-kubischen Parabel von Schooten
hatte also einen unglücklichen Einflufs auf die Lösung einiger metrischen Fragen, welche diese Kurve betreffen, jedoch keinen Einflufs
auf die Bestimmung der Tangente; Huygens entdeckte nämlich eine
Konstruktion derselben, die nicht nur bemerkenswert ist wegen ihrer
Eleganz und Einfachheit, sondern auch, weil sie aus der Untersuchung
des Punktes hervorgeht, in welchem die Tangente nicht die Koordinataxen, sondern eine besonders gewählte Gerade schneidet2). Betrachten
wir nämlich die Tangente an die Kurve (6) im Punkte (x, y), so ist,
wenn X, Y die laufenden Koordinaten derselben sind, ihre Gleichung
4 Y+x-ax 1
Y+ x - ~/nax 3 4/
__ - - - -- y -^ *
X-
setzen wir nun X 3, so findet man Y= -- +; dies zeigt, dafs
die Tangente an die biquadratisch-kubische Parabel (6) im Punkte mit
der Abscisse x durch den Punkt mit den Koordinaten (-.-, )
geht; es ist demnach nichts leichter, als diese zu konstruieren. -
1) Brief an Sluse vom 7. Dez. 1657 (Oeuv. de Huygens, II, S. 92).
2) Oeuvres de Huygens, Bd. II, S. 90 u. 93.