Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

244 IV. Abschnitt: Spez. algebraische Kurven v. höherer als der 4. Ordn.
mit ganz analogen Fragen beschäftigte, wie diejenigen, denen obige
Kurve ihren Ursprung verdanktl). Dieser Fall entspricht der Voraussetzung, dafs d und demnach auch 1 unendlich grofs seien. Die oben
angegebene Konstruktion wird dann zu folgender: ~Gegeben ein Kreis
mit dem Mittelpunkte 0 und dem Radius c und ein Punkt G seiner
Ebene; man ziehe in diesem Kreise einen beliebigen Radius OC (Taf. X,
Fig. 63b) dann die Gerade GC und errichte in 0 die Senkrechte zu OC,
diese beiden Geraden schneiden sich in einem Punkte P der fraglichen Kurve." Um deren Gleichung zu finden, könnte man auf einen
Grenzübergang zurückgreifen, der auf die Gleichung der Kranioide
angewendet wird, aber es ist viel leichter, sie direkt zu begründen.
Behalten wir nämlich die vorigen Bezeichnungen sämtlich bei, so erkennt man, dafs die Gleichungen der Geraden GC und OP sind:
x + y tgp = O, x(g - c sin 9) + cy cos p = gc COS. (11)
Durch Elimination von 9p ergiebt sich
g2x2(x + y2) c2 (gy X2 _.2)2. (12)
als Gleichung der gesuchten Kurve; diese ist demnach eine Kurve
vierter Ordnung, die im Anfangspunkt einen Berihrungsknoten und
G als Doppelpunkt hat. Wir bemerken ferner, dafs aus der Gleichung (11) sich ergiebt
gc sin (p cos (p gc cos2 cp
g sin-p c ' gsin p - ' (13)
womit es sich bestätigt, dafs die Kurve rational ist. In dem Falle, dafs
G der Peripherie des gegebenen Kreises angehört (g = c), fällt die erhaltene Kurve mit einer Strophoide zusammen. Im allgemeinen bemerkte
Poncelet2): ~cette courbe du quatrieme degre que nous avions baptisee
dans la salle no. 6 du nom de capricorne; courbe remarquable a
plus d'un titre par sa forme symetrique elegante mmee, et douee de
nombreuses proprietes geomnetriques jusqu'ici encore peu etudiee; etc."
Indem man sich diesem vernünftigen Vorschlage des grofsen französischen Geometers angeschlossen hat, ist die fragliche Kurve vierter
Ordnung Capricornoide genannt worden3); sie kann mechanisch
erzeugt, und ihre Tangenten können nach der Roberval'schen Methode
bestimmt werden.
1) Application de la rmethode de Roberval au trace des tangentes aux courbes
de contour appalent et de separation d'omnbre et de lumieire dans l'espace de la
vis filets triangulaires. (Application d'analyse et de geomntrie etc. I, Paris
1864, S. 447 ff.)
2) A. a. O. S. 460.
3) Burmester, Kinematik I. S. 81.