Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

230 IV. Abschnitt: Spez. algebraische Kurven v. höherer als der 4. Ordn.
setzt man in diese den aus (9) sich ergebenden Wert v - ein
so ergiebt sich
u b-x +V 4-x 2 und ähnlich v -- y - 2- | b X2/.
Setzt man diese Werte in (10) ein, nachdem man daselbst h= 0 gemacht, so findet man nach einigen Reduktionen
3 3 3
ax + /+ 2 4...... (12)
als Gleichung der allgemeinen Astroide. Wollen wir die beiden Fälle
unterscheiden, dafs die gegebene Kurve r eine Ellipse oder Hyperbel
sei, so kann man (12) folgendermafsen schreiben
2 2
(a) + (...*.... (i2+)
Die so dargestellten Kurven wurden von La Gournerie, da sie
reziprok zu den harmonischen Trinodalen (Nr. 97) sind, trilaterales
harmoniques genannt').
Nehmen wir nun die Axen zu einander rechtwinklig, so findet
sich obige Gleichung bei der Theorie der Kegelschnitte; betrachten
wir nämlich die Ellipse
()+ (y)2 =
so zeigt man leicht, dafs, wenn man der Kürze wegen
m2-n2 2 -n2
in v
setzt, dann die Gleichung
2 2
(X + er -
die Evolute derselben darstellt; nehmen wir also in (12) das +Zeichen,
so ist die entsprechende Kurve die Evolute derjenigen Ellipse, deren
Halbaxen bezw. 2ab2, 2a2 b~ sind. Ähnliches ergiebt sich, wenn
a2- b2; a2- b2
man in (12) das -Zeichen nimmt. Von dem besagten Gesichtspunkte
aus betrachtet finden sich die allgemeinen Astroiden in Abhandlungen
über die Normalen der Kegelschnitte2); diese Betrachtungsweise er1) Recherches sur les surfaces reglees tetraedrales symetriquzes (Paris 1867)
S. 116.
2) G. Bauer, Über Systeme von Curven sechster Ordnung, auf welche das
Normalproblem bei Curven zweiter Ordnung fuihrt (Ber. der Akad. d. Wissensch.
zu München, 1878). S. Roberts, On the sextic curves represented by
2 2 2
(Quar. Journ. XV, 1879).
(Quart. Journ. XV, 1879).