Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

210 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Im ersten Falle erhält man eine Kurve (Taf. VII, Fig. 53),
die in kartesischen Koordinaten durch eine Gleichung von folgendem Typus dargestellt wird:
2 b2........(19)
Sie hat als reelle Wendeknoten den Anfangspunkt und den unendlich
fernen Punkt der y-Axe, während der unendlich ferne der x-Axe ein isolierter Punkt ist. Die reellen Punkte der Kurve liegen innerhalb des
von den Geraden x = + a begrenzten Streifens der Ebene; in ihrer
Gestalt erinnert die Kurve an die Art der Anordnung der beiden
Kohlen in einer elektrischen Bogenlampe, daher der Name Kohlenspitzenkurve, mit dem Schoute sie bezeichnet hat, und der auch
allgemein angenommen ist. Die Beiwörter gerade und schiefe,
können angewandt werden, um darauf aufmerksam zu machen, ob das
Axensystem, auf welches die Kurve (19) bezogen wird, ein rechtwinkliges ist oder nicht, während man die Bezeichnung gleichseitige
in dem Spezialfalle a = b benutzen kann. Die Gleichung (19) kann
durch folgende beiden ersetzt werden, nämlich
x = a cos 9p, y= b ctg p,. (20)
wo Sp einen Parameter bedeutet.
Im zweiten Falle gelangt man zu einer Kurve (Taf. VII, Fig. 54),
die in kartesischen Koordinaten durch folgende Gleichung dargestellt
wird 2 b2
*+ — l...... y (21)
Sie hat im Anfange einen isolierten Punkt, und die beiden unendlich
fernen Punkte der Axen sind Inflexionsknoten; ihre reellen Punkte
liegen aufserhalb der beiden von x - + a, y- += b begrenzten Streifen.
Diese Kurve findet sich seit 1847 in einer von Terqueml) vorgelegten Frage; sie findet sich weiter in einigen Untersuchungen von
La Gournerie unter dem Namen Trinodale harmonique2); häufiger
wird sie jedoch heute, wie es Schoute gethan hat, Kreuzkurve genannt mit Rücksicht auf ihre Gestalt; auch auf sie kann man die
Beiwörter gerade und schiefe anwenden, jenachdem die Axen rechtwinklig oder schief zueinander stehen3); diejenige, bei welcher a =b,
nennt man aber die cirkulare. Die gerade cirkulare Kreuzkurve erfreut sich der Eigentümlichkeit, dafs ihre Fufspunktkurve in Bezug
1) Nouv. Ann. 6, Question 165.
2) Recherches siw les surfaces reglees tetraedrales symetiriques (Paris 1867) S. 92.
3) Von G. de Longchamps jedoch wurde der Name Kreuzkurve oblique einer Kurve gegeben, die in einem schiefwinkligen Axensystem (mit dem
Axenwinkel @) die Gleichung hat: 4x2y2 sin4 @ = 7k2(a2 + y - 2 xy cos @). S.
Cours de problemes de geometrie analytique. II. (Paris 1899) S. 291.