Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Vierzehntes Kapitel: Kurven 4. Ordn. mit drei Inflexionsknoten. 209
eine Kurve vierter Ordnung mit drei Knotenpunkten entsteht
a, X22X32 -+ - aCx232x2 + — 2 a33xx22 -- 2 23 X12X2 3 +- 2a31 x 22x3
+ 2a12x,x2x2 - 0.
Wenn der ursprüngliche Kegelschnitt dem Fundamentaldreieck umbeschrieben ist, so zerfällt die transformierte Kurve in vier Geraden;
ist er einbeschrieben, d. h. ist im allgemeinen ai=- ]/aiiakk, so hat
die transformierte Kurve drei Spitzen, weshalb sie von projektivischem
Standpunkte aus nicht verschieden von der im Kap. 7 dieses Abschn.
betrachteten ist; wenn endlich in Bezug auf ihn das Fundamentaldreieck selbst konjugiert, so ist a23 = a3 = a - == 0, und die Gleichung
der transformierten Kurve nimmt folgendes Aussehen an:
ax 22x32 - a 2X32x2 + Ct3X2x == 0.... (18)
Die Kurve selbst hat demnach drei Doppelpunkte in den Ecken des
Fundamental-Dreiecks; die zugehörenden Tangenten werden dargestellt
durch die drei Paare von Gleichungen
X2 + _ + 2_i = O,
y 1o - y-3 -/ y'- y,1^/ l6a / c
und daher sind diese zu je zweien harmonisch mit denjenigen Seiten
des Fundamentaldreiecks, welche demselben Büschel angehören; sie
sind alle Wendetangenten. Gleichung (18) kann daher als kanonische
Gleichung der Kurven vierter Ordnung mit drei Inflexionsknoten angesehen werden; diese Kurven besitzen alle deskriptiven Eigenschaften,
die wir früher für die Leminiskate bewiesen haben, so z. B. führt ein
in Nr. 92 bewiesener Satz zu folgendem Satze von Laguerre: Wenn
eine Kurve vierter Ordnung drei Inflexions-Doppelpunkte hat, so
haben die vier Tangenten, die man voin einem beliebigen Punkte der
Kurve selbst an diese ziehen kann, ihre Berührungspunkte auf einer
Geraden liegen ) und liefern ein äquianharmonisches Doppelverhältnis 2).
Nehmen wir das Fundamentaldreieck als vollständig reell an, so
mufs, damit die Kurve (18) unendlich viele reelle Punkte enthalte,
eine der Konstanten a das entgegengesetzte Vorzeichen wie die beiden
anderen haben; nehmen wir die Bezeichnungen in geeigneter Weise,
so können wir a, als negativ annehmen; in diesem Falle ist A, ein
isolierter Punkt der Kurve, während A, und A, Knotenpunkte sind.
Projizieren wir die Kurve derart, dafs eine der Seiten des Fundamentaldreiecks ins Unendliche geht, so erhält man verschiedene Formen der
Kurve, jenachdem diese Seite den Punkt A, enthält oder nicht.
1) Sur les courbes du quatrieme degre qui ont trois points doulZes ä inflexion et en particulier sur la lewniscate (Nouv. Ann. 2. Ser. XVII, 187$).
2) Vgl. G. Kohn, Wiener Ber. 1887, S. 332-33.
Loria, Ebene Kurven 14