Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

204 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
giebt'). Eliminieren wir Q aus (5) und (6) und setzen zur Abkürzung
-- a =, so folgt dBR
s - = 3 4
als natürliche Gleichung der Lemniskate2).
95. Da die Lemniskate eine Kurve vierter Ordnung mit drei
Knotenpunkten ist, so ist sie eine rationale Kurve, und man kann
daher die Koordinaten ihrer Punkte als rationale Funktionen eines
Parameters ausdrücken. In der That läfst sich die Gleichung (1) durch
folgende beiden ersetzen:
x = niZ- a + ~ ----~'
y2 A+, =- al-/2 4.3). - (8)
Aus dieser Darstellung ergiebt sich vor allem Folgendes4): Wenn
man /l in - verwandelt, so bleibt der Wert von x unverändert;
der von y wechselt nur sein Vorzeichen; daher gehören diese Werte
des Parameters zwei Punkten der Kurve an, die symmetrisch in Bezug auf Ox liegen. Hingegen entsprechen zweien Kurvenpunkten, die
symmetrisch in Bezug auf das Centrum liegen, zwei gleiche, aber
entgegengesetzte Werte von 2. Gehören diese einem Diameter an, der
mit der Axe den Winkel 6 bildet, so genügen diese der Gleichung
tg- 6 +
oder auch 1 2 tgy (9
1 - tg.... (9)
Aus (8) ergiebt sich folgende Gleichung für die Verbindungslinie der
Punkte (a), (ß):
(1 + oa ß)[( + ß-)2 (1 + x2 2)]x + (1- /a1)[(a + -)2
+ (1+ r212)]y - 2y2.a ac3( + ) =;... (10)
im Besonderen ist
(1 + m2)(4m2- 1 _ A4) - (1 - 2) (42 m+ 1 _ 4) - 4/2* a = -0 (11)
die Gleichung der Tangente an die Lemniskate im Punkte (A). Da (11)
vom 6ten Grade in X ist, so ergiebt sich - übereinstimmend mit dem
was die Plücker'schen Formeln angeben -: Die Lemniskate ist von
1) Die Gleichung der Evolute der Lemniskate wurde von B ier e n s de a a n
(a. a. O. S. 30) berechnet.
2) Ceslro, Lezioni di geoietria intrinseca (Neapel, 1896) S. 43.
3) Zuerst von J. A. Serret angegeben (Liouvilles Journ. X, 1845, S. 258).
4) Weitere Folgerungen, aufser den im Texte gegebenen, siehe in der schönen
Abhandlung von E m. Weyr, Die Lemniskate in rationaler Behandlung (Prager
Abh. VI, 1874), und in einer neueren (böhmisch geschriebenen) Arbeit von K.
Zahradnik, Beiträge zur Theorie der Lemniskate (Casopis, 28, 1899),