Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

200 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
num quae hac aequatione exprimitur xx + yy — = a /xx - yy, quaeque circum axe B G [2 t] constituta formam refert jacentis notae
octonarii oo, seu complicitae in nodum fasciae, sive lemnisci1), d'un
noeud de ruban Gallis2)." Von dieser Ahnlichkeit der Gestalt spricht
auch Johann Bernoulli in dem Briefe an Varignon, der sich im
Journal des Savants vom 2. Dez. 1697 findet, wo die Rede ist von
der,courbe, que mon frere comparait autrefois a un noeud de ruban"3), jedoch war sie noch nicht mit dem Namen Lemniskate bezeichnet, der bestimmt war, für immer in dem Wörterbuche der
Mathematiker festen Fufs zu fassen infolge des oben angeführten
Artikels des älteren Bernoulli. - Die Lemniskate hat ständig die
Aufmerksamkeit der Mathematiker auf sich gezogen, nicht wegen der
Anwendungen, denen sie ihre Entstehung verdankt, sondern wegen
der wichtigen Untersuchungen, die der Graf Fagnano an ihr anstellte4);
er beschäftigte sich mit der Rektifikation derselben und gelab:gte zu
Schlüssen, die in geeigneter Weise entwickelt und verallgemeinert den
Kern der Theorie der elliptischen Funktionen bilden; wir erinnern
nur daran, dafs er bewies, dafs jeder Lemniskatenbogen algebraisch
in n gleiche Teile geteilt werden kann, wenn n eine der Formen
2.2m, 3 2m, 5.2m hat.
Die Geometer der Epoche Fagnano's scheinen die Lemniskate mehr
als Ausgangspunkt analytischer Untersuchungen betrachtet zu haben,
als um geometrische Eigenschaften an ihr zu entdecken; zu dieser Ansicht führt uns die Thatsache, dafs lange Zeit hindurch der Umstand unbekannt blieb, dafs die Bernoullische Lemniskate
ein Specialfall der Cassinischen Kurve ist. Um diese überraschende Unkenntnis zu beweisen, mögen folgende Worte genügen,
mit denen der Artikel über die Lemniskate, den D'Alembert für die
Encyclopedie mcthlodique schrieb, abschliefst: ~11 peut y avoir plusieurs
autres courbes en 8 de chiffre. Voyez, par exeinple, Ellipse de
Cassini: mais celle dont nous venons de parler est la plus simple5)."
Die Identität der beiden Kurven wurde im Jahre 1806 öffentlich bewiesen von G. Saladini6); es scheint jedoch, dafs sie schon 24 Jahre
1) Von Kl~os, Schleife in Form einer 8.
2) S. Jac. Bernoulli opera 1. (Genf 1744) S. 609; vgl. ebenfalls 611.
3) Joh. Bernoulli opera I. S. 213.
4) Produzioni watematiche II. (Pesaro 1750) S. 356 ff., 413 und 415. Vgl.
auch D. Bierens de Haan, Dissertatio mathem. inaug. de Lemniscata Bernoulliana (Amsterdam 1874) ~. 5; Enneper, Elliptische i',Fnctionen (2. Aufl.,
Halle 1890) S. 531 ff.; Bellacchi, Introduzione storica alla teoria delle funzioni
ellittiche (Florenz 1894) S. 12 ff.
5) Encyclopedie nlethodique II. (Paris und Lüttich, 1785) S. 266.
6) S. die Abhandlung Della discesa de gravi per la lemniscata e della dimostrazione che questa curva e una della famiglia dell' elissi Cassiniane (Mem. dell'
Ist. Ital. I, II. Teil, Bologna 1806).