Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Vierzehntes Kapitel: Kurven 4. Ordn. mit drei Inflexionsknoten. 199
lichen Brennpunkte gemeinsam haben, ihre Wendepunkte auf
einer mit diesen konfokalen Lemniskate. - Wir wollen noch
erwähnen, dafs die erste Polare des Anfangspunktes in Bezug auf die
Kurve (1) zerfällt in die unendlich ferne Gerade und die Hyperbel mit
der Gleichung a(x2 - y2) = a4 - c4; da man nun durch Elimination
von c aus dieser Gleichung und G1. (1) findet p -a cos 2 co = 0, so
ist der Ort der Berührungspunkte für die Tangenten an
alle Cassinischen Kurven mit denselben aufserordentlichen
Brennpunkten, gezogen von dem gemeinsamen Mittelpunkte
aus, ebenfalls eine Bernoullische Lemniskate.
Bezüglich der Quadratur und Rektifikation der Cassinischen Kurve
wollen wir folgende Resultate anführen:
1) Die Berechnung der Fläche der Cassinischen Kurve hängt von
elliptischen Integralen ab; die von der ganzen Kurve umschlossene
Fläche wird durch Integrale erster Gattung ausgedrückt, wenn
die Kurve aus zwei Zügen besteht, durch Integrale der zweiten
Gattung, wenn sie aus einem einzigen besteht').
2) Jeder Bogen einer Cassinischen Linie kann durch die Summe
zweier elliptischer Integrale mit komplementären Moduln ausgedrückt werden1); die natürliche Gleichung der Cassinischen
Kurve enthält daher elliptische Integrale2) und erweist sich infolge dessen als von geringerer praktischer Wichtigkeit.
Vierzehntes Kapitel.
Kurven vierter Ordnung mit drei Inflexionsknoten.
93. Wir haben uns noch mit einem bemerkenswerten Spezialfalle der Cassinischen Kurven zu beschäftigen, der entsteht, wenn man
in den vorigen Entwickelungen c = a setzt. Alsdann wird die Gleichung (1) aus Nr. 90
(X2 + y2)2 -2a2(2 - 2) = 0.... ()
Sie findet sich zum erstenmal in einem berühmten Artikel, der in
den Acta eruditorumn vom September 1694 steht, unter dem Titel
Jacobi Bernoulli Constructio curvae accessus et recessus aequabilis, ope
rectificationis curvae czujusdam algebraicae, addenda nuperae solutiois
mensis Jznii. Daselbst erscheint die entsprechende Kurve als analytisches Hilfsmittel und wird bezeichnet als ~curva quatuor dimenqio1) J. A. Serret, Note szur les fonctions elliptiques de 1. espece (Liouvilles
Journ. VIII, 1843).
2) Cesaro, Lezioni di geonetria intrinseca (Neapel 1896) S. 42.