Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Dreizehntes Kapitel: Die Cassinische Kurve. 195
dann reell, wenn c < a 12; in dem Grenzfalle c =a 1/2 fallen die
beiden Berührungspunkte zusammen, und wir haben eine Undulationstangente. Aus letzterem geht hervor, dafs nur, wenn c> a /2 die
Cassinische Kurve eine ovalähnliche Gestalt hat und nur dann die
Ellipse zweiter Ordnung in der graphischen Darstellung der Bahnkurve der Gestirne ersetzen könnte.
Um das Verhalten der Cassinischen Kurve im Unendlichen kennen
zu lernen, setzen wir x iy =, x -iy Die Gleichung (l)
wird dann (2 a2 2) 2 a2 2) - C. -. 0.(2)
Diese Gleichung zeigt, dafs die Cassinische Kurve in dem cyklischen
Punkte =- 0, == 0 als Tangenten die beiden Geraden t + a = 0
hat; jede der beiden schneidet die Kurve in vier mit dem bezüglichen
Berührungspunkte zusammenfallenden Punkten; dasselbe gilt für den
Punkt — =0; -=0. Man schliefst daraus: Die beiden Kreispunkte
sind Inflexioiis-Doppelpunkte für die Cassinische Kurve1). Die entsprechenden Tangenten haben die Gleichungen
x + iy a= O, x - iy - a =
und schneiden sich in den beiden reellen Punkten mit den Koordinaten
(+ a, o); es sind die beiden Punkte F1 und F2, die sich somit als
aufserordentliche Brennpunkte der Kurve ergeben. Um die gewöhnlichen Brennpunkte zu finden, suchen wir diejenigen Tangenten von
(2), welche durch den Punkt t = 0, == 0 gehen; setzen wir dazu
=-= k, dividieren die entstehende Gleichung durch ~2 und suchen
diejenigen Werte auf, die man dem k erteilen mufs, damit die resultierende Gleichung eine doppelte Wurzel Ö habe. Wir finden dann
c4
unschwer k7= +j/a a2 - und daher haben die vom ersten Kreispunkte gezogenen Tangenten die Gleichungen
+ y aY- c4
x -+ i y = ---- a
a
und ähnlich die vom zweiten
+ Ga4 _C4
x -- iy a
Diese beiden konjugiert imaginären Geradenpaare schneiden sich noch
in zwei reellen Punkten, und zwar sind deren Koordinaten
y - 0, x - - - " ' wenn a2 > c2
a
und y -= N-o x = 0, wenn a2 < C2
1) Cayley, Note on the cassinian (Messenger IV, 1875).
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