Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zehntes Kapitel: Einige polyzomale symmetrische Kurven 4. Ordn. 175
2 2a3 2
und daher ist A =3 - 3b - 3 -IR, eine bemerkenswerte von de Sluse
entdeckte Beziehung1). - Aus (6) ergiebt sich ferner
dy x4
- Zaxdy a * *. (7)
daher hat die von de Sluse untersuchte Kurve folgende Eigenschaft:
"Die Strecke zwischen dem Anfang und demjenigen Punkte der x-Axe,
in welchem sie von der Tangente im Punkte (x, y) geschnitten
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wird, wird durch den Ausdruck b ausgedrückt. Umgekehrt, integrieren wir die letzte Gleichung, so erhalten wir alle Kurven, die
eine derartige Eigenschaft haben. Setzen wir nun y = tx, so läfst
sich die Integration leicht ausführen und führt zurück zur Gleichung (6);
also sind die von de Sluse betrachteten Kurven nichts anderes, als die
Integralkurven von (7); von diesem Standpunkte aus wurden sie neuerdings von Schneider2) betrachtet, der aufserdem die Rektifikation
derselben durch elliptische Integrale ausführte; in speziellen Fällen
läfst sich diese Aufgabe auch elementar lösen3).
II. Es seien zwei Kreise gegeben (Taf. V, Fig. 38), der kleinere
hat als Durchmesser eine Sehne A C des gröfseren; eine beliebige Sehne
AB des gröfseren Kreises schneide die Peripherie des kleineren weiterhin in D, von D ziehe man DE senkrecht auf AC und trage auf
dieser die Strecke EP= AB; der Ort der Punkte P ist eine virtuelle
Parabel4).
Nimmt man die Gerade AC als x-Axe, ihre Mittelsenkrechte zur
y-Axe, und nennt 9p den von der veränderlichen Sehne init der festen
gebildeten Winkel, so findet man
x - 2a cos2 9, y == 2 (a cos 9g + b sin p),
und demnach nach Elimination von g9
y = 1/2ax + /4b2 —
1) S. den auf vor. S. Note 4 eitierten Brief.
2) S. die Schrift Über eine der LeSmniskate der Gestalt nach ähnliche Kurve
(Progr. Elbing, 1874).
3) Dies trifft z. B. ein für die Kurve 8a2ye = x2(a2 - 2x2). (The educational
Times LXV, 1897, Quest. 13168). Diese ist nämlich folgender parametrischer Dara. a ds a
stellung fähig x = sin p, y sin 2 ep; daher ist (cos 2 cp - 2)
a.sin 2 cp _a. p
und s -— n 2- + ohne Hinzufügung der Konstanten, indem man s=-0 für
8 2
cp = 0 setzt. Im Speziellen, setzt man qp —, so ergiebt sich für die Länge
des vierten Teils der ganzen Kurve.
4) Opus geometricunm. Theor. CCXX (II, S. 845).