Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

172 II1. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Spezialfall, in welchem es ihm gelang eine von Leibniz 1) gestellte
Aufgabe zu lösen, nämlich die Quadratur der Kurve mit der Gleichung
y4- 6C~22 Y 4x2y2 + a4 0...... (4)
Diese ist in der That vom Typus (3) und kann auch geschrieben
werden 2a 2 + /2
y = 1/2( - x2 + - ya - x2.
Die Untersuchung dieser neuen Gleichung giebt folgende Konstruktion der Kurve, die man dem eben genannten Bernoulli verdankt:
Gegeben ein Quadrat OACB (Taf. V, Fig. 36) mit der Seite a;
man beschreibe zwei Kreise um den gemeinsamen Mittelpunkt 0, die
die Seite bezw. die Diagonale des Quadrates zum Radius haben; eine
Parallele zu OB schneide die beiden Kreise und die Gerade OA in
den Punkten L, M, Q; man trage auf ihr QP = LM ab. Der Ort
des Punktes P in Bezug auf die Geraden OA und OB als Koordinataxen, wird dann durch obige Gleichung dargestellt. Er besteht aus
zwei verschiedenen Blättern, die zu einander symmetrisch sind in Bezug
auf OA und beide symmetrisch in Bezug auf BO. Die innerhalb
des Winkels A OB gelegene Fläche des halben Blattes, wenn man
alle Wurzeln positiv nimmt, wird gemessen durch
O O
f(J/2a' x' + V/al x) dx - f( 2a- x2 - J/a x2) dx
0 0
r /t2 _x2 dx a2= 2r
somit ist die Fläche eines jeden Blattes gleich dem Inhalte
des kleineren der beiden obengenannten Kreise, beide Blätter
zusammen sind gleich dem des gröfseren.
82. Die vornehmsten Kurven vierter Ordnung, die in dieses
Kapitel gehören, sind diejenigen, die der Pater Gregorius a Sancto
Vincentio im X. Teile seines umfangreichen Opus geometricum quadraturae circudi et sectionum coni (Antwerpiae 1647) behandelt hat.
Folgende ist die wörtliche Definition, die er (S. 840) dafür gegeben hat:
"Parabolam virtualem voco, cujus ordinatim applicatae, si ad rectam
lineam ponantur, aut a recta linea dividantur bifariam, veram producunt parabolam. Porro illam pleraeque virtualem habet proprietatem,
ut linea bisecans ordinatim in illis applicata vera sit parabola; sed
inversa." Der Verfasser hat zu dieser Definition eine unumgänglich
notwendige Ergänzung gegeben, indem er nicht weniger als sechs
Methoden angegeben hat die Kurven zu zeichnen; wir werden darüber
berichten, ferner die Gleichungen der entsprechenden Kurven geben
und einige Folgerungen ziehen, die sich daraus ergeben:
1) Leibniz ed. Gerhardt, III (Halle 1855, S. 39), Brief v. 4. März 1696.