Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zehntes Kapitel: Einige polyzomale symmetrische Kurven 4. Ordn. 171
Umgekehrt gehört aber nicht jede derartig symmetrische Kurve
zu der Klasse, die (2) zur allgemeinen Gleichung hahen. Die allgemeine Gleichung einer Kurve vierter Ordnung, die symmetrisch zur
x-Axe ist, lautet nämlich
y4 + yq2Sp +, 0,
wo (p und 4 Funktionen 2ten bezw. 4ten Grades von x sind. Nun folgt
aus dieser Gleichung:
oder auch y=- ]/ + /V + V- + - 1
damit diese letztere aber die Form (2) habe, ist notwendig und hinreichend, dafs 4 das Quadrat einer quadratischen Funktion % von x
ist. Wir schliefsen demnach, dafs
y4 + 2 + X2 0.. 0. (3)
oder 4- /- -— X. (3')
y- y/-^ +i-z f + y~^- - ^% - j * o)
eine polyzomale, in Bezug auf die x-Axe symmetrische Kurve
vierter Ordnung darstellt, welcher Art auch die quadratischen Funktionen p und X von x sein mögen. Sind c und:
die Wurzeln der Gleichung = 0, so hat die Kurve die Punkte
(x -= a, y = 0) und (x = pß, y = 0) als Doppelpunkte; einer derselben liegt im Unendlichen, wenn die Funktion X auf den ersten
Grad herabgeht; aufserhalb der Axe hat die Kurve keine singulären
Punkte, daher, wenn sie rational ist, mufs einer derselben ein Berührungsknoten (Berührungspunkt zweier Kurvenzweige) sein, insbesondere tritt dieser Umstand ein, wenn p und % Funktionen in x
von niederem Grade als 2 sind.
Die Umformung der Gleichung (3) in (3') ist oft nützlich; zunächst vor allem führt sie zu einer Konstruktion der Kurve vermittelst der beiden Kegelschnitte
Yi = | -4 + 2 X? 2 = y| 2
indem sich ergiebt y = y- + y2; zweitens führt sie zur Quadratur
der Kurve, indem man hat
fy.dx=dx - D 2 + Sxdx - -- X,
und die beiden Integrale auf der rechten Seite sich in bekannter
Weise berechnen lassen. Die Nützlichkeit der Bildung der Form (3')
der Gleichung (3) wurde von Jacob Bernoullil) angegeben für einen
1) Acta eruditoium, 1687, S. 525.