Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

170 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Kehren wir noch ein letztes Mal zum Cartesischen Oval zurück,
um noch folgende drei Sätze zum Schlusse anzuführen:
1) Ein Cartesisches Oval besitzt acht Wendepunkte, die auf einer
cirkularen Kurve dritter Ordnung liegen1).
2) Die Summe der Flächen der beiden konjugierten Ovale ist gleich
dem doppelten Inhalt desjenigen Kreises, der den dreifachen
Brennpunkt zum Centrum hat und durch die Berührungspunkte
der Doppeltangente der Kurve geht2).
3) Ein beliebiger Bogen des Cartesischen Ovals ist gleich der
Summe dreier Ellipsenbögen3).
Zehntes Kapitel.
Einige polyzomale symmetrische Kurven vierter Ordnung.
81. Wenn f =- 0, f2 = 0, f3 = 0 die Gleichungen dreier Kegelschnitte in kartesischen Koordinaten sind, so stellt die Gleichung
]iF+f/2+ 1 =0(....... (i)
wo die Wurzeln immer mit beiden Vorzeichen genommen werden
sollen, eine Kurve vierter Ordnung dar; denn, wenn man die Gleichung (1) rational macht, so wird sie zu
f/ + f22 + f32- 2f2f3 - 2 3f -- 2f2fi = 0.
Diese Kurve gehört, wie jede Kurve vierter Ordnung, zur Klasse der
Polyzomal-Kurven, von denen wir noch im 6. Kap. des V. Abschn. handeln werden. Wenn im Besonderen fl und f/ quadratische Funktionen
nur von x sind und / = y2 ist, so gilt dasselbe von den Kurven mit
der Gleichung Y- +-f]/,....... (2)
bei welchen es sich lohnt zu verweilen, da sich unter diesen einige
spezielle Kurven finden, die aus verschiedenen Gründen bemerkenswert sind.
Welcher Art auch die durch fl und fg dargestellten quadratischen Funktionen von x sein mögen, die Gleichung (2) stellt immer
eine Kurve vierter Ordnung dar, die symmetrisch zur x-Axe ist.
1) S. Roberts, On the ovals of Descartes (Proc. of the London math. Soc.
III, 1869-71).
2) Panton, The educational Times, Question 4297.
3) Dieser Satz wurde von Genocchi in der Zeitschrift II cimento v. 15. Okt.
1855 veröffentlicht (vgl. Resume de diffärentes rechelches sur les ovales de Descartes
et quelques autres courbes, Mathesis IV, 1884); er wurde ziemlich viel später
wieder gefunden von Darboux (Sur la rectification des ovales de Descartes.
C. R. LXXXVII, 1878).