Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

168 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
Descartes entgangen zu sein scheint'). Wir wollen nun zeigen, dafs
sich die Kurve in Bezug auf ihre drei Brennpunkte ganz gleichartig
verhält. Zu dem Zwecke nehmen wir eine Koordinatenverschiebung
vor, indem wir als neuen Anfangspunkt den singulären Brennpunkt
der Kurve nehmen; in Bezug auf diesen haben die Punkte F, G, H
als Koordinaten bezw.
2av2 2at2 72 1
- -V 2 -V p -2 - 2- y ^- '
Beachten wir nun, dafs
oc + + Y= 4a2(i2 + v2) + 72
+ +2a(1 pv2)
^+^+^=-( fi2 t2)3
so erhält nan als neue Gleichung des Ovals die folgende:
L + fY - (y + y a+ ~cp)]2+4 ay [2 x — (~ + +y)] = O,2) (9)
deren vollständige Symmetrie in Bezug auf die Konstanten cc,, y das
behauptete gleichartige Verhalten der Kurve in Bezug auf die drei
Brennpunkte beweist.
Eine unmittelbare Folgerung aus dieser Thatsache ist, dafs fir
alle Punkte M des Ovals wir noch zwei andere ähnliche Beziehungen
wie (2) haben, nämlich folgender Art:
'. MG + v'. MH= l', ". MH + v" iMF= l";
jede dieser Beziehungen mit (2) kombiniert zeigt, dafs zwischen den
Abständen eines Punktes M eines Cartesischen Ovals von den drei
Brennpunkten F, G, 1H eine homogene Relation mit konstanten Koeffizienten besteht von folgendem Typus:. MF + gIG + hMH =- 03)
1) Vgl. P. Tannery, Les "excerlpta" ex AL.SS. R. Descartes (Abh. zur Geschichte der Mathematik IX, 1899, S. 509). - Es soll hier noch hervorgehoben
werden, dafs die betrachtete Kurve aufserhalb ihrer Ebene unzAhlig viele Brennpunkte besitzt, die eine Kurve dritter Ordnung, die in der durch FGH senkrecht zur Ebene des Ovals gehenden Ebene liegt, ausfillen (s. Darboux, Theoremes sur l'intersection d'une sphr'e et d'une surface du second ordre, Nouv. Ann.
2. Ser. III, 1864).
2) Panton, The educational Times, Question 2622.
3) Die Koeffizienten f, g, h werden als Funktion von a, (, y folgendermafsen ausgedrückt
f = (P - ) o, g- (-)1, h=(a-).
Die so gefundene trinolmische Gleichung kann für eine mechanische Zeichnung
des Ovals verwendet worden. S. Zeuthen, Om mnekanisc konstruktion af Descartes ovaler vecd Hjäl af Snore (Tidskrift, 4. Ser. VI, 1882.)