Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

166 III. Abschnitt: Kurven vierter Ordnung.
die Projektion der Schnittlinie dieser beiden Oberflächen auf die
xy-Ebene wird nun durch eine Gleichung dargestellt werden, die sich
ergiebt, wenn man aus den letzten Gleichungen z eliminiert; dies giebt:
h' h")2
f'- h"= -V(x - a')2 + (- ') a") + ( b")2
Da nun diese Gleichung dieselbe Gestalt wie (4) hat, so schliefst man:
Die Schnittlinie zweier Rotationskegel mit parallelen Axen projiziert
sich auf eine zu diesen Axen senkrechte Ebene in ein Cartesisches
Oval.
Dies sind wohl die interessantesten, jedoch nicht die einzigen
Arten, die aplanetischen Kurven zu erzeugen; wir können uns jedoch
mit der Darlegung derselben nicht weiter aufhalten und verweisen
den, der die übrigen kennen lernen will, auf die Note XXI des Aperzte
historique.
80. Die interessantesten Eigenschaften der Cartesischen Ovale
ergeben sich aus der Untersuchung ihres Verhaltens im Unendlichen.
Um dieses zu bestimmen, nehmen wir wieder die Gleichung (4) und
setzen der Einfachheit halber ' a - = a, b' b"= 0; setzen
wir ferner x + iy --, x - iy =-, so wird diese
V( - a)( — ag) + V(t + a+)(v +.;)= R,+
oder, wenn wir die Wurzeln wegschaffen,
[t( - _ > )(n- c) v2(t + ac)( + ag)12
- W212-2[t )2(& a) - g)a + v2(t + )(Qi + g)] + 4l'4 0. (6)
Diese zeigt, dafs die beiden Punkte (t = 0, g = 0), ( = 0, g = 0),
d. h. die beiden cyklischen Punkte der Ebene Doppelpunkte der
Kurve (6) sind. Die Tangenten in dem ersteren (in, V,; ausgedrückt) werden gemeinsam durch die Gleichung
[I( a - a) - v2(t + ag]2 = 0
dargestellt, daher ist dieser Punkt eine Spitze1), und die Spitzentangente hat die Gleichung t +, V22 a; in kartesischen Koordinaten
dagegen wird sie durch x + iy, 2~ a wiedergegeben.
Ebenso ist der andere Kreispunkt auch eine Spitze und die kartesische Gleichung der zugehörigen Tangente x- iy == g a.
1) Diese wichtige Bemerkung rührt von Cayley her (s. die o. a. Addition
cau memnoire stir quelZques transmutations des lignes coumrbes), der somit die Bchauptung von Chasles, dafs die cyklischen Punkte Doppelpunkte des Ovals seien,
berichtigte. Infolgedessen ist es von der 6., nicht, wie der berühmte französische Geometer annahm, von der 8. Klasse.