Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neuntes Kapitel: Die Cartesischen Ovale. 161
fachem Punkte; von den zugehörigen Tangenten ist eine (die y-Axe)
immer reell, die anderen (symmetrisch zu Ox) sind es, wenn A innerhalb des mit r um 0 beschriebenen Kreises liegt; in diesem Falle besteht die Kurve aus drei (reellen) Blättern, die zu je zweien drei gemeinsame Tangenten haben; diese und die unendlich ferne Gerade sind
Doppeltangenten der Kurve u. s. w.
Die Gleichungen (12) und (12') hingegen lassen die hervorragenderen Spezialfälle sehr gut erkennen
1) Wenn a + 3r = O, so wird (12') = 4'r cos 3G, welche Gleichung, wie wir Abschn. V, Kap. 11 sehen werden, eine sekundäre Proportionatrix darstellt.
2) Wenn a = r, wird (12)
Q - 4r cos o sin2co - - 2r sin o sin 2o,
welches, wie wir gesehen haben, die Gleichung eines geraden
Zweiblattes ist.
3) Machen wir in (12) r - a = a d, 2r = d, so bekommen wir die
Gleichung eines geraden Dreiblattes.
4) Setzen wir endlich a= 0, so wird (12')
== r (4 cos3 G - 3 cos o) == r cos 3 co,
die Gleichung eines regulären Trifoliums.
Somit ist unsere Behauptung am Anfange dieser Nummer bewiesen
und zu gleicher Zeit eine gemeinsame Art der Erzeugung für alle
vier speziellen Kurven angegeben.
Neuntes Kapitel.
Die Cartesischen Ovale.
78. Werfen wir einen Blick auf die vier vorhergehenden Kapitel,
so erkennen wir leicht das sie verknüpfende Band. Nach der Betrachtung der Konchoide des Nikomedes (Kap. 5) beschäftigten wir
uns mit den Verallgemeinerungen, die sie erfahren kann, insbesondere
mit den Kreis-Konchoiden (Kap. 6); da eine derselben eine dreispitzige
Kurve vierter Ordnung ist, so wurden wir veranlafst, eine andere
spezielle Kurve mit derselben Eigenschaft zu betrachten, nämlich die
dreispitzige Hypocykloide (Kap. 7), und darauf gewisse Kurven vierter
Ordnung, die sich von dieser herleiten (Kap. 8).
Nachdem wir nun diese Gruppe erschöpft haben, nehmen wir
die chronologische Anordnung wieder auf, von der wir uns nur dann
frei machen, wenn der logische Zusammenhang es erfordert, und
knüpfen an eine Bemerkung von Descartes im II. Buche seiner
L o r i a, Ebene Kurven. 11.